Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8350ArticlesСтатьиResearch ArticleAlgorithm for Computing Wave Functions, Reflection and Transmission Matrices of the Multichannel Scattering Problem in the Adiabatic Representation using the Finite Element MethodАлгоритм вычисления волновых функций, матриц отражения и прохождения многоканальной задачи рассеяния в адиабатическом представлении методом конечных элементовGusevA AГусевАлександр АлександровичLaboratory of Information TechnologiesЛаборатория информационных технологийgooseff@jinr.ruJoint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследований150220142NO2 (2014)№2 (2014)9311408092016Copyright ©; 2014, Гусев А.А.2014Гусев А.А.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8350In adiabatic representation the multichannel scattering problem for a multidimensional Schr¨odinger equation is reduced to the boundary value problem (BVP) for a system of coupled self-adjoined second-order ordinary differential equations on a finite interval with homogeneous boundary conditions of the third type at the left and right boundary points in the framework of the Kantorovich method using adiabatic basis of surface functions depending on longitudinal variable as a parameter. The homogeneous third-type boundary conditions for the desirable wave functions of the BVP are formulated using the known set of linear independent regular and irregular asymptotic solutions in the open channels of the reduced multichannel scattering problem on an axis which involve the desirable reflection and transmission amplitude matrices, and the set of linear independent regular asymptotic solutions in the closed channels. The economical and stable algorithm for numerical calculation with given accuracy of reflection and transmission matrices, and the corresponding wave functions of the multichannel scattering problem for the system of equations containing potential matrix elements and first-derivative coupling terms is proposed using high-order accuracy approximations of the finite element method (FEM). The efficiency of the proposed algorithm is demonstrated by solving of the two-dimensional quantum transmittance problem for a pair of coupled particles with oscillator interaction potentials penetrating through repulsive Coulomb-type potentials and scattering problem of electron in a Coulomb field of proton and in the homogeneous magnetic field in the framework of the Kantorovich and Galerkin-type methods and studying their convergence.В адиабатическом представлении многоканальная задача рассеяния для многомерного уравнения Шрёдингера сведена к краевой задаче для системы самосопряжённых обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на конечном интервале с однородными граничными условиями третьего типа в левой и правой граничных точках в рамках метода Канторовича, используя адиабатический базис поверхностных функций, зависящих от продольной переменной как от параметра. Для искомых решений краевой задачи сформулированы однородные условия третьего рода, используя известные наборы линейно-независимых регулярных и нерегулярных асимптотических решений в открытых каналах редуцированной многоканальной задачи рассеяния на оси, в которые входят искомые матрицы амплитуд прохождения и отражения, и набор линейно независимых регулярных асимптотических решений в закрытых каналах. Предложен экономичный и устойчивый алгоритм численного расчёта с заданной точностью матриц отражения и прохождения и соответствующих волновых функций многоканальной задачи рассеяния для системы самосопряжённых обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с матрицами потенциалов и матрицами, содержащими первые производные, используя аппроксимацию высокого порядка точности методом конечных элементов (МКЭ). Эффективность предложенного алгоритма продемонстрирована решением двумерной квантовой задачи прохождения пары частиц с осцилляторным потенциалом взаимодействия через отталкивающие потенциалы кулоновского типа и задачи рассеяния электрона в кулоновском поле протона и в однородном магнитном поле в рамках методов Канторовича и галёркинского типа, а также анализом их сходимости.multichannel scattering problemreflection and transmission amplitude matricesmultidimensional Schr¨odinger equationadiabatic representationthe Kantorovich methodboundary value problema system of coupled self-adjoined second-order ordinary differential equationsthe finite element methodмногоканальная задача рассеянияматрицы амплитуд прохождения и отражениямногомерное уравнение Шрёдингераадиабатическое представлениеметод Канторовичакраевая задачасистема самосопряжённых обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядкаметод конечных элементов1.Born M., Huang K. Dynamical Theory of Crystal Lattices. - New York, Oxford Clarendon Press, 1964.2.Goodvin G. L., Shegelski M. R. A. Three-Dimensional Tunneling of a Diatomic Molecule Incident Upon a Potential Barrier // Phys. Rev. A. - 2005. - Vol. 72. - Pp. 042713-1-7.3.Ринг Р., Расмуссен Д., Массман Г. Проблемы проницаемости неодномерных барьеров // ЭЧАЯ. - 1976. - Т. 7. - С. 916-951.4.POTHMF: a Program for Computing Potential Curves and Matrix Elements of the Coupled Adiabatic Radial Equations for a Hydrogen-Like Atom in a Homogeneous Magnetic Field / O. Chuluunbaatar, A. A. Gusev, V. P. Gerdt et al. // Comput. Phys. Commun. - 2008. - Vol. 178. - Pp. 301-330.5.Channeling Problem for Charged Particles Produced by Confining Environment / O. Chuluunbaatar, A. A. Gusev, V. L. Derbov et al. // Phys. Atom. Nucl. - 2009. - Vol. 72. - Pp. 811-821.6.Guest J. R., Raithel G. High-|| Rydberg States in Strong Magnetic Fields // Phys. Rev. A. - 2003. - Vol. 68. - Pp. 052502-1-9.7.Kantorovich L. V., Krylov V. I. Approximate Methods of Higher Analysis. - New York: Wiley, 1964.8.Gusev A. A. The Algorithms of the Numerical Solution to the Parametric Two-Dimensional Boundary-Value Problem and Calculation Derivative of Solution with Respect to the Parameter and Matrix Elements by the Finite-Element Method // Bulletin of PFUR. Series “Mathematics. Information Sciences. Physics”. - 2013. - No 4. - Pp. 101-121.9.Strang G., Fix G. J. An Analysis of the Finite Element Method. - New York: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1973.10.Ramdas Ram-Mohan L. Finite Element and Boundary Element Applications in Quantum Mechanics. - New York: Oxford Univ. Press, 2002.11.Finite-Element Solution of the Coupled-Channel Schr¨odinger Equation using High-Order Accuracy Approximations / A. G. Abrashkevich, D. G. Abrashkevich, M. S. Kaschiev, I. V. Puzynin // Comput. Phys. Commun. - 1995. - Vol. 85. - Pp. 40-64.12.Symbolic-Numerical Algorithms to Solve the Quantum Tunneling Problem for a Coupled Pair of Ions / A. A. Gusev, S. I. Vinitsky, O. Chuluunbaatar et al. // Lecture Notes in Computer Science. - 2011. - Vol. 6885. - Pp. 175-191.13.Пеньков Ф. М. Квантовая прозрачность барьеров для структурных частиц // ЖЭТФ.- 2000.- Т.118. -С. 806-815.14.Гусев А. А. Новый метод построения осцилляторных функций квантовой системы тождественных частиц в симметризованных координатах // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». - 2013. - № 3. - С. 52-67.15.Гусев А. А. Модель туннелирования кластеров через отталкивающие барьеры в представлении симметризованных координат // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». - 2014. - № 1. - С. 54-73.16.Chuluunbaatar O., Gusev A. A., Vinitsky S. I., Abrashkevich A. G. A Program Package for Solution of Two-Dimensional Discrete and Continuum Spectra Boundary-Value Problems in Kantorovich (Adiabatic) Approach. - 2013. - http://wwwinfo.jinr.ru/programs/jinrlib/kantbp/indexe.html.17.KANTBP: A Program for Computing Energy Levels, Reaction Matrix and Radial Wave Functions in the Coupled-Channel Hyperspherical Adiabatic Approach / O. Chuluunbaatar, A. Gusev, A. Abrashkevich et al. // Comput. Phys. Commun. - 2007. - Vol. 177. - Pp. 649-675.18.KANTBP 2.0: New Version of a Program for Computing Energy Levels, Reaction Matrix and Radial Wave Functions in the Coupled-Channel Hyperspherical Adiabatic Approach / O. Chuluunbaatar, A. A. Gusev, S. I. Vinitsky, A. G. Abrashkevich // Comput. Phys. Commun. - 2008. - Vol. 179. - Pp. 685-693.19.Macek J. Hermitian R Matrix in the Presence of First-Derivative Couplings // Phys. Rev. A. - 1984. - Vol. 30. - Pp. 1277-1278.20.Calculation of a Hydrogen Atom Photoionization in a Strong Magnetic Field by using the Angular Oblate Spheroidal Functions / O. Chuluunbaatar, A. A. Gusev, V. L. Derbov et al. // J. Phys. A. - 2007. - Vol. 40. - Pp. 11485-11524.21.A Symbolic-Numerical Algorithm for Solving the Eigenvalue Problem for a Hydrogen Atom in the Magnetic Field: Cylindrical Coordinates / O. Chuluunbaatar, A. Gusev, V. Gerdt et al. // Lecture Notes in Computer Science. - 2007. - Vol. 4770. - Pp. 118-133.22.Golub G. H., Van Loan C. F. Matrix Computations. - New York, Johns Hopkins Univ. Press, 1996.23.ODPEVP: A program for Computing Eigenvalues and Eigenfunctions and their First Derivatives with Respect to the Parameter of the Parametric Self-Adjoined Sturm-Liouville Problem / O. Chuluunbaatar, A. A. Gusev, S. I. Vinitsky, A. G. Abrashkevich // Comput. Phys. Commun. - 2009. - Vol. 180. - Pp. 1358- 1375.24.Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука, 1979.25.Goulomb Wave Functions for All Real and / A. R. Barnett, D. H. Feng, J. W. Steed, L. J. B. Goldfarb // Comput. Phys. Commun. - 1974. - Vol. 8. - Pp. 377-395.26.FORTRAN Routines for Computation of Special Functions. - http://jin.ece. illinois.edu/routines/routines.html.27.Symbolic-Numerical Calculations of High-|| Rydberg States and Decay Rates in Strong Magnetic Fields / A. A. Gusev, S. I. Vinitsky, O. Chuluunbaatar et al. // Lecture Notes in Computer Science. - 2012. - Vol. 7442. - Pp. 155-171.28.Bathe K. J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. - New York: Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1982.29.Symbolic-Numerical Algorithms for Solving Parabolic Quantum Well Problem with Hydrogen-Like Impurity / S. I. Vinitsky, O. Chuluunbaatar, V. P. Gerdt et al. // Lecture Notes in Computer Science. - 2009. - Vol. 5473. - Pp. 334-349.30.The Application of Adiabatic Method for the Description of Impurity States in Quantum Nanostructures / A. A. Gusev, O. Chuluunbaatar, S. I. Vinitsky et al. // J. Phys. Conf. Ser. - 2010. - Vol. 248. - Pp. 012047-1-8.31.Melezhik V. S., Schmelcher P. Quantum Dynamics of Resonant Molecule Formation in Waveguides // New J. Phys. - 2009. - Vol. 11. - Pp. 073031-1-10.