Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8320ArticlesСтатьиResearch ArticleSpecific Implementations of Symplectic Numerical MethodsКонкретные реализации симплектических численных методовGevorkyanM NГеворкянМигран НельсоновичTelecommunication Systems DepartmentКафедра систем телекоммуникацийmngevorkyan@sci.pfu.edu.ruPeoples’ Friendship University of RussiaРоссийский университет дружбы народов150120131NO1 (2013)№1 (2013)778908092016Copyright ©; 2013, Геворкян М.Н.2013Геворкян М.Н.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8320The paper illustrates the use of the tensor notation for writing symplectic numerical schemes. Symplectic conditions are given for the partitioned Runge–Kutta and Runge–Kutta–Nystr̈om methods. The specific implementations of symplectic numerical methods are reviewed.В статье продемонстрировано использование тензорной нотации для записи симплектических численных схем. Приведены условия симплектичности для раздельного метода Рунге–Кутты и для метода Рунге–Кутты–Нюстрёма. Дан обзор конкретных реализаций симплектических численных методов до 6-го порядка точности включительно.symplectic numerical methodspartitioned Runge–Kutta methodRunge–Kutta–Nystr̈om methodtensor notationсимплектические численные методыраздельный метод Рунге–Куттыметод Рунге–Кутты–Нюстрёматензорные обозначения1.Сурис Ю.Б. Гамильтоновы методы типа Рунге–Кутты и их вариационная трактовка // Математическое моделирование. — 1990. — Т. 2, № 4. — С. 78–87.2.Сурис Ю.Б. О некоторых свойствах методов численного интегрирования систем вида..=.(.) // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1987. — Т. 27, № 10. — С. 1504–1515.3.Ракитский Ю.В. О некоторых свойствах решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений одношаговыми методами численного интегрирования // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1961. — Т. 1, № 6. — С. 947–962. — http://mi.mathnet.ru/ zvmmf7998.4.Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / под ред. С.С. Филиппова. — 1 издание. — М.: Мир, 1990. — ISBN 5-03-001179-X, С. 512.5.Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Вводные лекции по численным методам. — 1 издание. — М.: Логос, 2004. — С. 184.6.Okunbor D.I., Skeel R.D. Explicit Canonical Methods for Hamiltonian Systems // Mathematics of Computation. — 1992. — Vol. 59. — Pp. 439–455.7.Ruth R.D. A Canonical Integration Technique // IEEE Transactions on Nuclear Science. — 1983. — Vol. 30, No 4. — Pp. 2669–2671. — ISSN 0018-9499. — http: //dx.doi.org/10.1109/TNS.1983.4332919.8.Sanz–Serna J.M. The Numerical Integration of Hamiltonian Systems // Computational Ordinary Differential Equations / Ed. by J.R. Cash, I. Gladwell. — Clarendon Press, Oxford, 1992. — Pp. 81–106.9.Forest E., Ruth R.D. Fourth–Order Symplectic Integration // Physica D Nonlinear Phenomena. — 1990. — Vol. 43. — Pp. 105–117.10.Candy J., Rozmus W. A Symplectic Integration Algorithm for Separable Hamiltonian Functions // Journal of Computational Physics. — 1991. — Vol. 92, No 1. — Pp. 230–256.11.Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I. —2 edition. — Berlin: Springer, 2008. — ISBN 978-3-540-56670-0, P. 528.12.Calvo M.P., Sanz–Serna J.M. Order Conditions for Canonical Runge–Kutta– Nystr.om Methods // BIT. — 1992. — Vol. 32. — Pp. 131–142.13.Calvo M.P., Sanz–Serna J.M. High-Order Symplectic Runge–Kutta–Nystr.om Methods // SIAM J. Sci. Comput. — 1993. — Vol. 114. — Pp. 1237–1252.14.Calvo M.P., Sanz–Serna J.M. Reasons for Failure. The Integration of the Two-Body Problem with a Symplectic Runge–Kutta–Nystr.om Code with Stepchanging Facilities // Equadiff 91 / Ed. by C. Perell.o, C. Simo, J. Sola-Morales. — World Scientific, Singapore, 1993. — Pp. 34–48.15.Calvo M., Sanz-Serna J. The Development of Variable-Step Symplectic Integrators, with Application to the Two-Body Problem // SIAM Journal on Scientific Computing. — 1993. — Vol. 14, No 4. — Pp. 936–952.16.Yoshida H. Construction of higher order symplectic integrators // Physics Letters A. — 1990. — Vol. 150, No 5-7. — Pp. 262–268. — http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0375960190900923.17.Okunbor D.I., Lu E.J. Eighth-Order Explicit Symplectic Runge–Kutta–Nystr.om Integrators. — 1994.18.Okunbor D., Skeel R.D. Canonical Runge–Kutta–Nystr.om Methods of Orders 5 and 6 // J. Comput. Appl. Math. — 1994. — Vol. 51, No 3. — Pp. 375–382.19.Hairer E., Lubich C., Wanner G. Geometric numerical integration: structure-preserving algorithms for ordinary differential equations. Springer series in computational mathematics. — Springer, 2006. — ISBN 9783540306634. — http://books.google.ru/books?id=T1TaNRLmZv8C.