Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8312ArticlesСтатьиResearch ArticleA Study of the Integrability of the Derivatives of the Solutions of the Conjugate (nonlinear) Beltrami EquationИсследование свойств интегрируемости производных решения сопряжённого (нелинейного) уравнения Бельтрами в случае вырождения на граничной дугеTerentievaJ VТерентьеваЮлия ВалерьевнаChair of «Theory of the functions»Кафедра теории функцийtuv86@mail.ruKuban State UniversityКубанский государственный университет150120131NO1 (2013)№1 (2013)51808092016Copyright ©; 2013, Терентьева Ю.В.2013Терентьева Ю.В.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8312In this article we study degenerate elliptic equations. Using integral representations for the function posessing generalised derivatives we prove theorems of existence of solutions of these equations in the class of quasiconformal mappings in the mean, and in the more general case. We prove higher integrability of the solutions of these equations in the case of the boundary degeneration.Предметом изучения данной работы являются вырождающиеся эллиптические уравнения. Используя интегральные представления для функций, обладающих обобщёнными производными, мы доказываем теорему существования решений таких уравнений как в классе квазиконформных в среднем отображений, так и в более общем случае. Доказывается улучшенная интегрируемость производных обобщённого решения квазилинейного вырождающегося уравнения Бельтрами в случае вырождения на граничной дуге.conjugate (nonlinear) Beltrami equationdegenerate elliptic equationsMuckenhoupt’s weight functionweighted Sobolev’s spaceembedding theoremsbounded singular operator in weighted spacequasiconformal mappingsсопряжённое (нелинейное) уравнение Бельтрамивырождающиеся эллиптические уравнениякласс Макенхауптавесовые соболевские пространстватеоремы вложенияограниченные сингулярные операторы в весовых пространствахквазиконформные отображения1.Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. — М.: Наука, 1988. — 512 с.2.Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. Перевод с английского В.В. Кривова / под ред. В.А.Зорича, Б.В. Шабата. — М.: Мир, 1969. — 133 с.3.Щербаков Е.А. Гомеоморфные решения одной вырождающейся эллиптической системы // Известия ВУЗов. Математика. — 1976. — № 10 (173). — С. 93–96.4.Малаксиано Н.А. О точных вложениях классов Геринга в классы Макенхаупта // Математические заметки. — 2001. — Т. 70, № 5. — С. 742–750.5.Митюк И.П., Шеретов В.Г., Щербаков Е.А. Плоские квазиконформные отображения. — Краснодар: КубГУ, 1989. — 84 с.6.Вашарин А.А. Граничные свойства функций класса. (.) и их приложение к решению одной краевой задачи математической физики // Изв. АН СССР, Сер. Матем. — 1959. — № 23. — С. 421–454.7.Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 588 с.8.Хатсон В., Пим Д. Приложения функционального оператора и теории операторов. Перевод с англ. Н.И. Плужниковой и В.И. Авербуха. — М.: Мир, 1983. — 432 с.9.Боярский Б.В. Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами // Мат. сб. — 1957. — Т. 43 (85), № 4. — С. 451–503.10.Astala K., Iwaniec T., Martin G. Elliptic Partial Differential Equations and Quasiconformal Mappings in the Plane. — Princeton University press, 2009. — 696 p.11.Stredulinsky E.W. Weighted Inequalition and Degenerate Elliptic Partial Differential Equations // Lachtes Notes in Mathematics Sprienger. — 1984. — No 1074.12.Дынькин Е.М., Осиленкер Б.П. Весовые оценки сингулярных интегралов и их приложения // Итоги науки и техн. Сер. Мат. Анализ. — 1983. — № 21. — С. 42–129.13.Gergen J.J., Dressel F.G. Mapping by. – Regular Functions // Duke math. J. — 1951. — Vol. 18, No 1. — Pp. 185–210.14.Евграфов М.А. Аналитические функции. — М.: Наука, 1968. — 471 с.15.Миклюков В.М. Функции весовых классов Соболева, анизотропные метрики и вырождающиеся квазиконформные отображения. — Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2010. — 305 с.16.Водопьянов С.К. Пространства дифференциальных форм и отображения с контролируемым искажением // Изв. РАН. Сер. Матем. — 2010. — Т. 74, № 4. — С. 5–32.