Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8264ArticlesСтатьиResearch ArticleSingularities of the Green Function for the Schrödinger Operator with a Potential, Singular at the OriginОб особенности функции Грина оператора Шрёдингера с потенциалами, сингулярными в начале координатYakovlevS LЯковлевСергей ЛеонидовичDepartment of computational physicsКафедра вычислительной физикиsl-yakovlev@yandex.ruGradusovV AГрадусовВиталий АлександровичDepartment of computational physicsКафедра вычислительной физики-St. Petersburg UniversityСанкт-Петербургский государственный университет150120141NO1 (2014)№1 (2014)15315708092016Copyright ©; 2014, Яковлев С.Л., Градусов В.А.2014Яковлев С.Л., Градусов В.А.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8264We study the asymptote r → 0 of the Green function G+(r,0,k2) for the Schrödinger operator with a short-range potential of arbitrary form, singular at the origin as r−ρ with ρ > 0. A short-range potential by definition is a potential that decreases at infinity more rapidly than the Coulomb one. This is done on the basis of integral Lippmann-Schwinger equation for the Green function in coordinate representation. It is shown that to describe the asymptote one has to distinguish three cases depending on the value of potential’s parameter ρ. If the singularity is weaker than that of the Coulomb potential, the Green function has a standard singularity, namely the singularity of the form r−1. In the case 1 ≤ ρ < 2 an additional singularity arises. If ρ = 1 the additional singularity has the same form as in the case of the Coulomb potential. In the case 1 < ρ < 2 it has the form of a polar singularity of the form r−ρ+1. In all cases described above the singular terms of asymptotic expansions are written in explicit forms via potential V ’s parameters that describe its behaviour at infinity. The problem that we consider has interesting applications in physics, for example in a theory of zero range potentials.Исследуется асимптотика при r → 0 функции Грина оператора Шрёдингера − Δ + V (r) с короткодействующим потенциалом V произвольной формы, имеющим особенность в начале координат вида r−ρ с ρ > 0. Под короткодействием потенциала понимается убывание на бесконечности, более быстрое, чем убывание Кулоновского потенциала. Исследование производится при помощи интегрального уравнения Липпманна–Швингера для функции Грина в координатном представлении. Показано, что для описания асимптотики необходимо различить три случая в зависимости от значения параметра потенциала ρ. Если особенность потенциала слабее чем кулоновская, то асимптотика функции Грина имеет стандартное сингулярное поведение, именно особенность вида r−1. В случае особенности потенциала вида r−ρ с 1 ≤ ρ < 2 в асимптотике функции Грина возникает дополнительная сингулярность. В случае ρ = 1 дополнительная логарифмическая сингулярность имеет ту же форму, что и в случае кулоновского потенциала. В случае 1 < ρ < 2 дополнительная сингулярность имеет вид полярной особенности вида r−ρ+1. Во всех перечисленных случаях сингулярные члены асимптотических разложений выражены в явном виде через параметры потенциала V , определяющие его поведение в начале координат. Исследованная проблема имеет ряд интересных приложений в физике, в частности она имеет важное значение в теории потенциалов нулевого радиуса.scattering theoryGreen functionsingular potentialscoordinate asymptotesтеория рассеянияфункция Гринасингулярные потенциалыкоординатные асимптотики1.Solvable Models in Quantum Mechanics / S. Albeverio, F. Gesztesy, R. HoeghKrohn, H. Holden. — Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, 2005.2.Yakovlev S.L., Gradusov V.A. Zero-Range Potential for Particles Interacting Via Coulomb Potential // J. Phys. A. — 2012. — Vol. 46. — P. 035307.3.Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. — Москва: Мир, 1969.4.Повзнер А.Я. О разложении произвольных функций по собственным функциям оператора −Δu + cu // Матем. сб. — 1953. — Т. 32(74). — С. 109–156.