Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8261ArticlesСтатьиResearch ArticleA Sequential Growth Dynamics for a Directed Acyclic Dyadic GraphДинамика последовательного роста для ориентированного ациклического диадического графаKruglyA LКруглыйАлексей ЛьвовичDepartment of Applied Mathematics and Computer ScienceОтдел прикладной математики и информатикиakrugly@mail.ruScientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of ScienceНаучно-исследовательский институт системных исследований РАН150120141NO1 (2014)№1 (2014)12413808092016Copyright ©; 2014, Круглый А.Л.2014Круглый А.Л.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8261A model of discrete spacetime on a microscopic level is considered. It is a directed acyclic dyadic graph (an x-graph). The dyadic graph means that each vertex possesses no more than two incident incoming edges and two incident outgoing edges. This model is the particular case of a causal set because the set of vertices of x-graph is a causal set. The sequential growth dynamics is considered. This dynamics is a stochastic sequential additions of new vertices one by one. A new vertex can be connected with existed vertex by an edge only if the existed vertex possesses less than four incident edges. There are four types of such additions. The probabilities of different variants of addition of a new vertex depend on the structure of existed x-graph. These probabilities are the functions of the probabilities of random choice of directed paths in the x-graph. The random choice of directed paths is based on the binary alternatives. In each vertex of the directed path we choose one of two possible edges to continue this path. It is proved that such algorithm of the growth is a consequence of a causality principle and some conditions of symmetry and normalization. The probabilities are represented in a matrix form. The iterative procedure to calculate probabilities is considered. Elementary evolution operators is introduced. The second variant to calculate probabilities is based on these elementary evolution operators.Рассмотрена модель дискретного пространства-времени в микромире. Она представляет собой ориентированный ациклический диадический граф (x-граф). Диадический граф означает, что каждая вершина обладает не больше, чем двумя инцидентными входящими ребрами и двумя инцидентными выходящими ребрами. Эта модель — частный случай причинностного множества, так как множество вершин x-графа — причинностное множество. Рассмотрена динамика последовательного роста. Эта динамика представляет собой стохастическое последовательное добавление новых вершин одна за другой. Новая вершина может быть связана с существовавшей вершиной ребром, только если существовавшая вершина обладает меньше чем четырьмя инцидентными ребрами. Есть четыре типа таких добавлений. Вероятности различных вариантов добавления новой вершины зависят от структуры существовавшего x-графа. Эти вероятности — функции вероятностей случайного выбора ориентированных путей в x-графе. Случайный выбор ориентированных путей основан на бинарных альтернативах. В каждой вершине ориентированного пути мы выбираем одно из двух возможных ребер, чтобы продолжить этот путь. Доказано, что такой алгоритм роста — следствие принципа причинности и некоторых условий симметрии и нормировки. Вероятности представлены в матричной форме. Рассмотрена итерационная процедура вычисления вероятностей. Представлены элементарные операторы эволюции. Второй вариант вычисления вероятностей основан на этих элементарных операторах эволюции.causal setrandom graphdirected graphпричинностное множествослучайный графориентированный граф[Finkelstein D. “Superconducting” Causal Net // International Journal of Theoretical Physics. — 1988. — Vol. 27. — Pp. 473–519.][’t Hooft G. Quantum Gravity: a Fundamental Problem and Some Radical Ideas // Recent Development in Gravitation, Proceedings of the 1978 Cargese Summer Institute / Ed. by M. Levy, S. Deser. — New York/London: Plenum, 1979. — Pp. 323–345.][Myrheim J. 1978. — Statistical Geometry. — CERN preprint TH-2538.][Space-Time as a Causal Set / L. Bombelli, J.H. Lee, D.A. Meyer, R.D. Sorkin // Physical Review Letters. — 1987. — Vol. 59. — Pp. 521–524.][Sorkin R.D. Causal Sets: Discrete Gravity (Notes for the Valdivia Summer School) // Lectures on Quantum Gravity, Proceedings of the Valdivia Summer School, Valdivia, Chile, January 2002 / Ed. by A. Gomberoff, D. Marolf. — New York: Springer, 2005. — Pp. 305–327. — (arXiv: gr-qc/0309009).][Dowker H.F. Causal Sets as Discrete Spacetime // Contemporary Physics. — 2006. — Vol. 47. — Pp. 1–9.][Henson J. The Causal Set Approach to Quantum Gravity // Approaches to Quantum Gravity: Towards a New Understanding of Space, Time and Matter / Ed. by D. Oriti. — Cambridge: Cambridge University Press, 2009. — Pp. 393–413. — (arXiv: gr-qc/0601121).][Wallden P. Causal Sets: Quantum Gravity from a Fundamentally Discrete Spacetime // Journal of Physics: Conference Series. — 2010. — Vol. 222:012053. — (arXiv: 1001.4041 [gr-qc]).][Brightwell G., Georgiou N. Continuum Limits for Classical Sequential Growth Models // Random Structures and Algorithms. — 2010. — Vol. 36. — Pp. 218–250.][Dou D., Sorkin R.D. Black Hole Entropy as Causal Links // Foundation of Physics. — 2003. — Vol. 33. — Pp. 279–296. — (arXiv: gr-qc/0302009).][Johnston S. Particle Propagators on Discrete Spacetime // Classical and Quantum Gravity. — 2008. — Vol. 25. — P. 202001. — (arXiv: 0806.3083 [hep-th]).][Sverdlov R., Bombelli L. Gravity and Matter in Causal Set Theory // Classical and Quantum Gravity. — 2009. — Vol. 26. — P. 075011. — (arXiv: 0801.0240 [gr-qc]).][Sverdlov R., Bombelli L. Dynamics for Causal Sets with Matter Fields: A Lagrangian-based Approach // Journal of Physics: Conference Series. — 2009. — Vol. 174:012019. — (arXiv: 0905.1506 [gr-qc]).][Sorkin R.D. Scalar Field Theory on a Causal Set in Histories Form // Journal of Physics: Conference Series. — 2011. — Vol. 306:012017. — (arXiv: 1107.0698 [gr-qc]).][Круглый А.Л. Принципы дискретной механики микромира // Проблемы физики и физических технологий: сборник научных трудов / под ред. А. Лурье. — М.: МГОУ, 2010. — С. 65–161.][Krugly A.L. — Discrete Mechanics: a Kinematics for a Particular Case of Causal Sets. — arXiv: 1008.5169 [gr-qc].][Krugly A.L. — Discrete Mechanics: a Sequential Growth Dynamics for Causal Sets, and a Self-Organization of Particles. — arXiv: 1004.5077 [gr-qc].][Krugly A.L. — Discrete Mechanics: a Sequential Growth Dynamics for Causal Sets that is Based on Binary Alternatives. — arXiv: 1106.6269 [gr-qc].][Finkelstein D., McCollum G. Unified Quantum Theory // Quantum Theory and the Structures of Time and Space / Ed. by L. Castell, M. Drieschner, C.F. von Weizs¨acker. — M¨unhen, Wienna: Hauser, 1975. — Vol. 1. — Pp. 15–54.][Круглый А.Л. Модель дискретного пространства–времени. — M.: Монолог, 1998.][Krugly A.L. Causal Set Dynamics and Elementary Particles // International Journal of Theoretical Physics. — 2002. — Vol. 41, No 1. — Pp. 1–37.][Rideout D.P., Sorkin R.D. A Classical Sequential Growth Dynamics for Causal Sets // Physical Review D. — 2000. — Vol. 61. — Pp. 024002-1 – 024002-16. — (arXiv: gr-qc/9904062).][Reichenbach H. The Direction of Time.—Berkeley: University of California Press, 1956.][Sorkin R.D. Relativity Theory Does Not Imply that the Future Already Exists: a Counterexample // Relativity and the Dimensionality of the World / Ed. by V. Petkov. — Netherlands: Springer, 2007. — Pp. 153–162. — (arXiv: gr-qc/0703098).][Krugly A.L., Stepanian I.V. An Example of the Stochastic Dynamics of a Causal Set // Foundations of Probability and Physics-6 (FPP6), 12-15 June 2011, the Linnaeus University, V¨axj¨o, Sweden / Ed. by M. D’Ariano, S.-M. Fei, E. Haven et al. — Vol. 1424. — 2012. — Pp. 206–210. — (arXiv: 1111.5474 [gr-qc]).]