Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8255ArticlesСтатьиResearch ArticleInfluence of Stochastization on One-Step ModelsВлияние стохастизации на одношаговые моделиDemidovaA VДемидоваАнастасия ВячеславовнаTelecommunication Systems DepartmentКафедра систем телекоммуникацийavdemidova@sci.pfu.edu.ruGevorkyanM NГеворкянМигран НельсоновичTelecommunication Systems DepartmentКафедра систем телекоммуникацийmngevorkyan@sci.pfu.edu.ruEgorovA DЕгоровАлександр Дмитриевичegorov@im.bas-net.byKulyabovD SКулябовДмитрий СергеевичTelecommunication Systems DepartmentКафедра систем телекоммуникацийdharma@sci.pfu.edu.ruKorolkovaA VКорольковаАнна ВладиславовнаTelecommunication Systems DepartmentКафедра систем телекоммуникацийakorolkova@sci.pfu.edu.ruSevastyanovL AСевастьяновЛеонид АнтоновичTelecommunication Systems DepartmentКафедра систем телекоммуникацийsevast@sci.pfu.edu.ruPeoples’ Friendship University of RussiaРоссийский университет дружбы народовInstitute of Mathematics, NASBИнститут математики НАНБ150120141NO1 (2014)№1 (2014)718508092016Copyright ©; 2014, Демидова А.В., Геворкян М.Н., Егоров А.Д., Кулябов Д.С., Королькова А.В., Севастьянов Л.А.2014Демидова А.В., Геворкян М.Н., Егоров А.Д., Кулябов Д.С., Королькова А.В., Севастьянов Л.А.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8255It is assumed that the introduction of probability in mathematical model makes it more adequate. There are practically no methods of the agreed (depending on structure of the system) introduction of probability in deterministic models. Authors have improved the method of constructing stochastic models for the class of one-step processes and illustrated it by models of population dynamics. Population dynamics was chosen for study because its deterministic models are sufficiently well explored that allows to compare the obtained results with the results already known. We have examined the impact of the introduction of stochastics in the deterministic model, on the example of population dynamics system of type “predator–prey”. Previously obtained stochastic differential equations are studied by the methods of the qualitative theory of differential equations. Stationary state and first integral of the system are obtained. To demonstrate the results the numerical simulations on the basis of Runge–Kutta method for stochastic differential equations are performed. The first integral of deterministic system (phase volume) in the stochastic case does not remain unchanged, but increases, which ultimately leads to the death of one or both populations. One of the disadvantages of the classical system of type “predator–prey” is preservation of the amplitude of populations oscillations. In the stochastic model the process terminates with the death of one or both populations, which from the authors’ point of view makes the model more adequate.Предполагается, что введение стохастики в математическую модель делает её более адекватной. При этом практически отсутствуют методы согласованного (зависящего от структуры системы) введения стохастики в детерминистические модели. Авторами была усовершенствована методика построения стохастических моделей для класса одношаговых процессов и проиллюстрирована на примере моделей популяционной динамики. Популяционная динамика была выбрана для исследования потому, что её детерминистические модели достаточно хорошо исследованы, что позволяет сравнить полученные результаты с уже известными. В работе изучено влияние введения стохастики в детерминистические модели на примере системы популяционной динамики типа «хищник–жертва». Полученные ранее стохастические дифференциальные уравнения исследуются методами качественной теории дифференциальных уравнений. Получено стационарное состояние и первый интеграл системы. Для демонстрации результатов производится численное моделирование на основе метода Рунге–Кутты для стохастических дифференциальных уравнений. Первый интеграл детерминистической системы (фазовый объём) в стохастическом случае не сохраняется, а возрастает, что в конечном итоге приводит к гибели одной или обеих популяций. Одним из недостатков классической системы типа «хищник–жертва» считается сохранение амплитуды колебаний популяций. В стохастической же модели процесс завершается гибелью одной или обеих популяций, что, с точки зрения авторов, делает модель более адекватной.stochastic differential equations“predator–prey” modelmaster equationFokker–Planck equationстохастические дифференциальные уравнениямодель «хищник–жертва»основное кинетическое уравненияуравнение Фоккера–Планка[Кулябов Д.С., Демидова А.В. Введение согласованного стохастического члена в уравнение модели роста популяций // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2012. — № 3. — С. 69–78.][Demidova A.V., Sevastianov L.A., Kulyabov D.S. Application of Stochastic Differencial Equations to Model Population Systems // Third International Conference on Mathematical Modelling of Social and Economical Dynamics MMSED-2010 / Russian State Social University. — 2010. — Pp. 92–94.][Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М.: Наука, 1976.][Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.][Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии. — М.: Физматлит, 2010.][Debrabant K., Röbler A. Classification of Stochastic Runge–Kutta Methods for the Weak Approximation of Stochastic Differential Equations // Mathematics and Computers in Simulation. —2008.—Vol. 77, No 4.—Pp. 408–420.][Tocino A., Ardanuy R. Runge–Kutta Methods for Numerical Solution of Stochastic Differential Equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2002. — Vol. 138, No 2. — Pp. 219–241. — ISSN 0377-0427. — http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042701003806.][The Method of Stochastization of One-Step Processes / A.V. Demidova, A.V. Korolkova, D.S. Kulyabov, L.A. Sevastianov // Mathematical Modeling and Computational Physics. — JINR, 2013. — P. 67.][Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. — Мир, 1986.][Oksendal B.K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. — Berlin: Springer, 2003.][Lotka A.J. Elements of Physical Biology. — BiblioBazaar, 2011. — ISBN 9781178508116, 492 p. — http://books.google.ru/books?id=tFN9pwAACAAJ.][Демидова А.В. Уравнения динамики популяций в форме стохастических дифференциальных уравнений // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2013. — № 1. — С. 67–76.][Демидова А.В. Метод стохастизации математических моделей на примере системы «хищник–жертва» // Научная сессия НИЯУ МИФИ-2013. — 2013. — С. 127.][Королькова А.В., Кулябов Д.С. Методы стохастизации математических моделей на примере пиринговых сетей // Научная сессия НИЯУ МИФИ-2013. Аннотации докладов. В 3 томах. — Москва: МИФИ, 2013. — С. 131.][Демидова А.В., Кулябов Д.С., Севастьянов Л.А. Согласованный стохастический член в популяционных моделях // XI Белорусская математическая конференция. — Минск: Институт математики НАН Беларуси, 2012. — С. 39.][Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. — М.: Мир, 1983.][Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. — М.: Мир, 1983.][Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. — М.: Мир, 1986.][Одум Ю. Основы экологии. — Москва: Мир, 1975.][Лукшин А.В., Смирнов С.Н. Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений // Математическое моделирование. — 1990. — Т. 2, № 11. — С. 108–121.][Soheili A.R., Namjoo M. Strong Approximation of Stochastic Differential Equations with Runge-Kutta Methods // World Journal of Modelling and Simulation. — 2008. — Vol. 4, No 2. — Pp. 83–93.][Геворкян М.Н. Конкретные реализации симплектических численных методов // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2013. — № 1. — С. 77–89.][Геворкян М.Н. Условие явности и диагональной неявности при композиции метода Рунге–Кутты со своим присоединенным // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2012. — № 3. — С. 87–96.][Gevorkyan M.N., Gladysheva J.V. Symplectic Integrators and the Problem of Wave Propagation in Layered Media // Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series “Mathematics. Information Sciences. Physics”. — 2012. — No 1. — Pp. 50–60.][Logmani G.B. High Strong Order Implicit Runge–Kutta Methods for Stochastic Ordinary Differential Equations // System Dynamics Society. Proceedings of the 22nd International Conference. — Oxford, England, UK: 2004. — http://www.systemdynamics.org/conferences/2004/SDS_2004/PAPERS/109LOGHM.pdf.][Kinderman A.J., Monahan J.F. Computer Generation of Random Variables Using the Ratio of Uniform Deviates // ACM Transactions on Mathematical Software. — 1977. — Vol. 3, No 3. — Pp. 257–260. — http://stevereads.com/papers_to_read/computer_generation_of_random_variables_using_the_ratio_of_uniform_deviates.pdf.]