Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8254ArticlesСтатьиResearch ArticleThe Model of Tunneling of Clusters Through Repulsive Barriers in Symmetrized Coordinates RepresentationМодель туннелирования кластеров через отталкивающие барьеры в представлении симметризованных координатGusevA AГусевАлександр АлександровичLaboratory of Information TechnologiesЛаборатория информационных технологийgooseff@jinr.ruJoint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследований150120141NO1 (2014)№1 (2014)527008092016Copyright ©; 2014, Гусев А.А.2014Гусев А.А.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8254Formulation of a mathematical model for the system A identical particles with pair interaction of oscillator type in the repulsive barrier potentials in the form of a boundary-value problem for elliptic equations in new symmetrized coordinates, effective methods, algorithms and program complexes for the analysis of its solutions are presented. Reduction of the problem for a cluster of A identical particles to subsystems “(one particle) + (cluster of (A − 1) particles)” and “(a cluster of Ab1 particles) + (cluster of Ab2 particles)” is considered. The solution of the boundary-value problem for a cluster of A identical particles sought the form of an expansion over the cluster (A − 1)-dimensional oscillator basis functions, symmetric and antisymmetric with respect to permutations of A identical particles, i.e. in the symmetrized coordinates representation [Gusev A.A. // Bulletin of PFUR. Series “Mathematics, Information Sciences. Physics”. — 2013. — No 3. — P. 52–67]. The problem is reduced to the boundary value problem for a set of coupled second-order ordinary differential equations with the R-matrix third type boundary conditions in the close coupling channel method. The amplitude matrix of transmission and reflection and the eigenfunctions of the continuous spectrum of the scattering problem with respect to the center of mass are calculated with help of the program complex KANTBP 3.0. The effectiveness of the approach is demonstrated by the analysis of the solutions of the quantum tunneling of clusters consisting of a number of identical particles with oscillator-type pair interaction through a repulsive barrier in the s-wave approximation. The analysis of the effect of quantum transparency, i.e. resonant tunneling of a cluster of several identical particles through the repulsive barriers, which is due to the presence of quasi-stationary states embedded in a continuum is given. To calculate the positions of the energy of quasistationary states and their classification, the algorithm of solving the boundary value problems for elliptic equations in A-dimensional domain of a special type based on the decomposition of solutions A-dimensional oscillator basis is developed. The developed approach and set of programs focused on the analysis of the quantum diffusion of molecules, channeling and tunneling clusters and ions in crystals, as well as tetrahedral and octahedral symmetry of the nuclei.Представлены формулировка математической модели для системы A тождественных частиц с парными взаимодействиями осцилляторного типа в поле отталкивающих барьерных потенциалов в виде краевой задачи для системы уравнений эллиптического типа в новых симметризованных координатах, эффективные методы, алгоритмы и комплексы программ для анализа её решений. Рассмотрена редукция задачи для кластера из A тождественных частиц к подсистемам «(одна частица) + (кластер из (A − 1) частиц)» и «(кластер из Ab1 частиц) + (кластер из Ab2 частиц)». Решение краевой задачи для кластера из A тождественных частиц ищется в виде разложения по кластерным (A − 1)-мерным осцилляторным базисным функциям, симметричным или антисимметричным относительно перестановки A тождественных частиц — в представлении симметризованных координат [Гусев А.А. // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика.» — 2013. — No 3, С. 52–67]. Задача редуцируется к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с R-матричными условиями третьего рода в методе сильной связи каналов. Матрицы амплитуд прохождения и отражения и собственные функции непрерывного спектра задачи рассеяния по переменной центра масс вычисляются с помощью комплекса программ KANTBP 3.0. Эффективность подхода продемонстрирована анализом решений задачи квантового туннелирования кластеров, состоящих из нескольких тождественных частиц с парными взаимодействиями осцилляторного типа, через отталкивающие барьеры в s-волновом приближении. Проведён анализ эффекта квантовой прозрачности, т. е. резонансного туннелирования кластера из нескольких тождественных частиц через отталкивающие барьеры, который обусловлен наличием квазистационарных состояний, погруженных в непрерывный спектр. Для расчёта положений энергий квазистационарных состояний и их классификации разработан алгоритм решения краевой задачи для эллиптического уравнения в A-мерной области специального типа на основе разложения решения по A-мерному осцилляторному базису. Разработанный подход и комплекс программ ориентирован на анализ квантовой диффузии молекул, каналирования и туннелирования кластеров и ионов в кристаллах, а также тетраэдральной и октаэдральной симметрии ядер.cluster modelsnuclear reaction models and methodscoupled channel modelsquantum tunnelingкластерные моделимодели ядерных реакций и методымодели связанных каналовквантовое туннелирование1.Пеньков Ф. М. Квантовая прозрачность барьеров для структурных частиц // ЖЭТФ. — 2000. — Т. 118. — С. 806–815.2.Pijper E., Fasolino A. Quantum Surface Diffusion of Vibrationally Excited Molecular Dimers // J. Chem. Phys. — 2007. — Vol. 126. — P. 014708.3.Ahsan N., Volya A. Quantum Tunneling and Scattering of a Composite Object Reexamined. // Phys. Rev. C. — 2010. — Vol. 82. — P. 064607.4.Ershov S.N., Danilin B.V. Breakup of Two-Neutron Halo Nuclei // Phys. Part. Nucl. — 2008. — Vol. 39. — Pp. 1622–1720.5.Гринюк Б.Е., Сименог И.В. Структура ядра 6He в трёхчастичной модели // Ядерная физика. — 2009. — Т. 72. — С. 10–24.6.S¨unkel W., Wildermuth K. About the Antisymmetrization of Many Nucleon Systems // Phys. Lett. B. — 1972. — Vol. 41. — Pp. 439–442.7.Вильдермут К., Тан Я. Единая теория ядра. — Мир, 1980.8.Ринг Р., Расмуссен Д., Массман Г. Проблемы проницаемости неодномерных барьеров // ЭЧАЯ. — 1976. — Т. 7. — С. 916–951.9.Hagino K., Rowley N., Kruppa A. T. A Program for Coupled-Channel Calculations with All Order Couplings for Heavy-Ion Fusion Reactions // Comput. Phys. Commun. — 1999. — Vol. 123. — P. 143.10.Shilov V.M. Sub-Barrier Fusion of Intermediate and Heavy Nuclear Systems // Phys. Atom. Nucl. — 2012. — Vol. 75. — Pp. 485–490.11.Channeling Problem for Charged Particles Produced by Confining Environment / O. Chuluunbaatar, A. A. Gusev, V. L. Derbov et al. // Phys. Atom. Nucl. — 2009. — Vol. 72. — Pp. 811–821.12.Symbolic-Numerical Algorithms to Solve the Quantum Tunneling Problem for a Coupled Pair of Ions / A. A. Gusev, S. I. Vinitsky, O. Chuluunbaatar et al. // Lecture Notes in Computer Science. — 2011. — Vol. 6885. — Pp. 175–191.13.Tetrahedral Symmetry in Nuclei: New Predictions Based on the Collective Model / A. Dobrowolski, A. G/o/zd/z, A. Mazurek, K. Dudek // International Journal of Modern Physics E. — 2011. — Vol. 20. — Pp. 500–506.14.Tagami S., Shimizu Y.R., Dudek J. A Microscopic Study of Tetrahedral-Symmetric Nuclei by Angular-Momentum and Parity Projection Methods // arXiv:1301.3279v1. — 2013.15.Fock V.A. N¨aherungsmethode zur L¨osung des quanten mechanischen Mehrkörper problems // Zs. Phys. — 1930. — Vol. 61. — Pp. 126–148.16.Kanada-En’yo Y., Hidaka Y. a-cluster Structure and Density Waves in Oblate Nuclei // Phys. Rev. C. — 2011. — Vol. 84. — Pp. 014313–1–16.17.Гусев А.А. Новый метод построения осцилляторных функций квантовой системы тождественных частиц в симметризованных координатах // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2013. — № 3. — С. 52–67.18.The General Harmonic-Oscillator Brackets: Compact Expression, Symmetries, Sums and Fortran Code / G.P. Kamuntaviˇcius, R. K. Kalinauskas, B. R. Barrett et al. // Nucl. Phys. A. — 2001. — Vol. 695. — Pp. 191–201.19.Kramer P., Moshinsky M. Group Theory of Harmonic Oscillators (III). States with Permutational Symmetry // Nucl. Phys. — 1966. — Vol. 82. — Pp. 241–274.20.Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.21.Baker Jr.G.A. Degeneracy of the n-Dimensional, Isotropic, Harmonic Oscillator // Phys. Rev. — 1956. — Vol. 103. — Pp. 1119–1120.22.L/evy-Leblond J.-M. Global and Democratic Methods for Classifying N Particle States // Ann. Phys. — 1966. — Vol. 7. — Pp. 2217–2229.23.KANTBP 2.0: New Version of a Program for Computing Energy Levels, Reaction Matrix and Radial Wave Functions in the Coupled-Channel Hyperspherical Adiabatic Approach / O. Chuluunbaatar, A.A. Gusev, S.I. Vinitsky, A.G. Abrashkevich // Comput. Phys. Commun. — 2008. — Vol. 179. — Pp. 685–693.24.Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Vinitsky S.I., Abrashkevich A.G. A Program Package for Solution of Two-Dimensional Discrete and Continuum Spectra Boundary-Value Problems in Kantorovich (Adiabatic) Approach. — 2013. — http://wwwinfo.jinr.ru/programs/jinrlib/kantbp/indexe.html.25.Уилкинсон Д., Райнш Ц. Справочик алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. — М.: Машиностроение, 1976.