Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8249ArticlesСтатьиResearch ArticleOn the Cauchy Problem for a Semilinear Functional Differential Inclusion of the Fractional Order with Impulse Response and Infinite Delayina Banach SpaceО задаче Коши для полулинейного функциональнодифференциального включения дробного порядка с импульсными характеристиками и бесконечным запаздыванием в банаховом пространствеPetrosyanG GПетросянГарик ГагиковичDepartment of Higher MathematicsКафедра высшей математикиgarikpetrosyan@yandex.ruVoronezh State Pedagogical UniversityВоронежский государственный педагогический университет150120141NO1 (2014)№1 (2014)52208092016Copyright ©; 2014, Петросян Г.Г.2014Петросян Г.Г.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8249In this paper, applying the theory of topological degree of condensing multi-valued mappings, we prove the existence of solution and the compactness of the set of solutions of the Cauchy problem for a semilinear functional differential inclusion of fractional order with infinite delay and impulse responses in a Banach space. The article consists of an introduction and three sections. In the introduction the urgency of this problem, outlines the background and provides links to articles and monographs in which the reader can find the applications of the theory of functional differential equations and inclusions of fractional order. In the second section we describe the formulation of the problem, we introduce the space, which addresses this problem and give a criterion for the relative compactness of the set in the input space. The third section consists of four sub-items, which provide preliminary information. In the first subparagraph the concept of fractional derivative and fractional primitive is given. Second paragraph provides the necessary information from the theory of multi-valued mappings. The third sub-paragraph is devoted to information from the theory of measurable multifunctions. In the fourth paragraph we formulate a modified phase space entered by Hale and Kato. In the last section we formulate conditions that we impose on the elements included in the original inclusion and on the basis of auxiliary statements prove our main result.В настоящей работе, применяя теорию топологической степени уплотняющих многозначных отображений, доказывается существование решения и компактность множества всех решений задачи Коши для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка с бесконечным запаздыванием и импульсными характеристиками в банаховом пространстве. Статья состоит из введения и трёх параграфов. Во введении обосновывается актуальность данной проблематики, излагается история вопроса и приводятся ссылки на статьи и монографии, в которых читатель может найти приложения теории функционально-дифференциальных включений и уравнений дробного порядка. Во втором параграфе описывается постановка задачи, вводится пространство, в котором рассматривается данная задача и даётся критерий относительной компактности множества во введённом пространстве. Третий параграф состоит из четырёх подпунктов, в которых приводятся предварительные сведения. В первом подпункте даются понятия дробной производной и дробной первообразной. Во втором подпункте приводятся необходимые сведения из теории многозначных отображений. Третий подпункт посвящён сведениям из теории измеримых мультифункций. В четвёртом подпункте приводится формулировка модифицированного фазового пространства введённого Хейлом и Като. В последнем параграфе формулируются условия, которые мы накладываем на элементы, входящие в состав исходного включения, и на основе вспомогательных утверждений доказывается основной результат работы.fractional derivativedifferential inclusionsCauchy problemmeasure of noncompactnessfixed pointcondensing multimapthe impulsive characteristicsфункционально-дифференциальное включениедробная производнаязадача Кошибесконечное запаздываниеимпульсная характеристикамера некомпактностинеподвижная точкауплотняющее мультиотображение1.Abbas S., Benchohra M., N’Guerekata G.M. Topics in Fractional Differential Equations. — New York.USA: Springer, 2012. — 202 p.2.Fractional Calculus Models and Numerical Methods / D. Baleanu, K. Diethelm, E. Scalas, J. J. Trujillo. — World Scientific Publishing, 2012.3.Diethelm K. Analysis of Fractional Differential Equations. — Berlin. Germany: Springer, 2010. — 262 p.4.Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics. — Singapore: World Scientific, 2000. — 302 p.5.Kilbas A.A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Amsterdam. Holland: Elsevier Science B.V., 2006. — 204 p.6.Miller K.S., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. — New York. USA: John Wiley, 1993. — 260 p.7.Podlubny I. Fractional Differential Equations. — San Diego. USA: Academic Press, 1999. — 340 p.8.Samko S., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional Integrals and Derivatives, Theory and Applications. — Yverdon: Gordon and Breach Sci. Publishers, 1993. — 740 p.9.Tarasov V.E. Fractional Dynamics. Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. — Beijing: Springer, 2010. — 560 p.10.Lakshmikantham V. Theory of Fractional Functional Differential Equations // Nonlinear Anal. — 2008. — Vol. 8. — P. 2677–2682.11.Lakshmikantham V., Vatsala A.S. Basic Theory of Fractional Differential Equations // Nonlinear Anal. — 2008. — No 8.12.Obukhovskii V., Yao J.-C. Some Existence Results for Fractional Functional Differential Equations // Fixed Point Theory. — 2010. — Vol. 11. — Pp. 85–96.13.Benchohra M., Henderson J., Ntouyas S. Impulsive Differential Equations and Inclusions // Contemporary Mathematics and Its Applications.—2006.—Vol. 2.14.Lakshmikantham V., Bainov D.D., Simeonov P.S. Theory of Impulsive Differential Equations. — Teaneck. NJ: World Scientific Publishing Co., 1989. — 124 p.15.Perestyuk N.A., Plotnikov V.A., Samoilenko A.M. Differential Equations with Impulse Effects. — Berlin. Germany: Walter de Gruyter Co., 2011. — 280 p.16.Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. — Berlin. Germany: Walter de Gruyter, 2001. — 232 p.17.Меры некомпактности и уплотняющие операторы / Р. Р. Ахмеров, М. И. Каменский, А. С. Потапов и др. — Новосибирск: Наука, 1986. — 266 с.18.Введение в теорию многозначных оторбажений и дифференциальных включений. — Издание 2-е, испр. и доп. / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский. — М.: Книжный дом «Либроком», 2011. — 224 с.19.Hale J.K., Kato J. Phase Space for Retarded Equations with Infinite Delay // Funkcialaj Ekvacioj. — 1978. — Vol. 21. — Pp. 11–41.20.Hino Y., Murakami S., Naito T. Functional Differential Equations with Infiniti Delay // Lecture Notes in Mathematics. — 1991. — No 1.21.Diestel J., Ruess W.M., Schachermayer W. Weak Compactness in L1(u,X) // Proc. Amer. Math. Soc. — 1993. — Vol. 118, No 2. — Pp. 447–453.22.Qin Y. Nonlinear Parabolic-Hyperbolic Coupled Systems and Their Attractors // Operator Theory: Advances and Applications. — 2008. — Vol. 184.