Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8238ArticlesСтатьиResearch ArticleOn One Numerical Method of Integrating the Dynamical Equations of Projectile Planar Flight Affected by WindОб одном методе численного интегрирования динамических уравнений плоскопараллельного полёта спортивного или боевого снаряда в условиях воздействия ветраChistyakovV VЧистяковВиктор ВладимировичFaculty of EngineeringИнженерный факультетv.chistyakov@yarcx.ruYaroslavl’ State Academy of AgricultureФГБОУ ВПО «Ярославская государственная сельскохозяйственная академия»150320143NO3 (2014)№3 (2014)12513708092016Copyright ©; 2014, Чистяков В.В.2014Чистяков В.В.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8238Common way to integrate the dynamical equations of projectile planar motion introduces two Cartesian coordinates x(t) and y(t) and attack angle ϑ(t), all depending on time t, and three coupled ordinary differential equations (ODE) each nominally of II-nd order. It leads to inevitable computational complexities and accuracy risks. The method proposed excludes the time variable and diminishes the number of functions to n = 2: the attack angle ϑ(b) and intercept a(b) of the tangent to the trajectory at the point with slope b = tan θ with the θ being the inclination angle. This approach based on Legendre transformation makes the integration more convenient and reliable in the studied case of quadratic in speed aerodynamic forces i.e. drag, lifting force, conservative and damping momenta and the wind affecting the flight. The effective dimensionality of new ODE system is diminished by 2 units and its transcendence is eliminated by simple substitution η = sin ϑ. Also the method enables to obtain easily and reliably the projectile trajectories in conditions of tail-, head-or side wind. Investigated are main ranges of aerodynamic parameters at which takes place different behavior of the attack angle ϑ vs slope b including quasi-stabilization and aperiodic auto-oscillations. In addition, it was revealed non-monotonous behavior of speed with two minima while projectile descending if launched at the angles θ0 close to 90 ∘ . The numerical method may implement into quality improvement of real combat or sporting projectiles such as arch arrow, lance, finned rocket etc.Стандартный путь интегрирования динамических уравнений для плоскопараллельного резистивного движения твердого тела подразумевает введение двух декартовых переменных x(t) и y(t) и угла атаки ϑ(t) и, соответственно, трёх взаимосвязанных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), каждое номинально II-го порядка. Это приводит к большому вычислительному объёму и рискам в точности получаемых решений. Предлагаемый метод исключает временную переменную t и уменьшает число функций до n = 2: угол атаки ϑ(b) и подкасательная к траектории a(b), где b = tg θ,а θ - угол наклона к горизонту вектора скорости V ⃗центра масс снаряда. Этот базирующийся на преобразованиях Лежандра подход делает интегрирование контролируемым и удобным особенно в рассматриваемом случае квадратичных по скорости аэродинамических усилий: лобовое сопротивление, подъёмная сила, консервативный и диссипативный моменты. Также метод позволяет получить легко и надежно траектории снаряда в условиях встречного, попутного или бокового ветров. Исследованы основные области аэродинамических параметров, в которых имеет место различное поведение угла атаки ϑ(b): квазистабилизация и апериодические автоколебания. Также обнаружено существенно немонотонное поведение величины скорости на участке падения с двумя минимумами при высоких углах запуска. Развитый метод может быть внедрён в процесс совершенствования реальных спортивных и боевых снарядов, таких как стрела лука, копьё, неуправляемый оперенный снаряд и др.projectilelifting forcequadratic dragconservative/damping momentaattack angleprojective-dual variableswindсвободное резистивное движениетраекторияквадратичное сопротивлениеподъёмная силаконсервативный и диссипативный моментыугол атакипроективно-двойственные переменныеветер1.Rheingans W. R. Exterior and Interior Ballistics of Bows and Arrows - Review // Archery Review. - 1936. - P. 236.2.Prediction of the Impact Point for Spin and Fin Stabilized Projectiles / D. N. Gkritzapis, D. P. Margaris, E. E. Panagiotopoulos et al. // WSEAS Transactions on Information Science and Applications. - Vol. 5, No 12. - 2008. - Pp. 1667-1676.3.Шамолин В. А. Динамические системы с переменной диссипацией: подходы, методы, приложения // Фундаментальная и прикладная математика. - 2008. - Т. 14, № 3. - С. 3-327.4.Чистяков В. В. Об одном резольвентном методе интегрирования уравнений свободного движения в среде с квадратичным сопротивлением // Компьютерные исследования и моделирование. - 2011. - Т. 3, № 3. - С. 265-277.5.Чистяков В. В. Интегрирование уравнений свободного движения тяжёлой точки в среде с вертикальным градиентом плотности // Вестник Удмуртского университета. Серия «Математика. Механика. Компьютерные науки». - 2012. - Т. 1. - С. 120-132.6.Чистяков В. В. Численно-аналитическое интегрирование уравнений свободного движения тяжелой точки вблизи звукового пика показателя степенного сопротивления // Компьютерные исследования и моделирование. - 2011. - Т. 3, № 3. - С. 785-798.7.McCoy R. L. Modern Exterior Ballistics: The Launch and Flight Dynamics of Symmetric Projectiles. - Schiffer Publishing, Ltd., 1999.