Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8237ArticlesСтатьиResearch ArticleDynamic Equation of Constrained Mechanical SystemУравнения динамики несвободной механической системыBeshawAssaye WalelgnБешауА ВDepartment of MathematicsКафедра математикиassayewalelgn@gmail.comBahir Dar UniversityБахрдарский университет150320143NO3 (2014)№3 (2014)11512408092016Copyright ©; 2014, Бешау А.В.2014Бешау А.В.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8237This paper modifies an explicit dynamic equation of constrained mechanical system. Kinematic position of the system is defined by generalized coordinates, which are imposed on constraints. The equations of motion in the form of the Lagrange equations with undetermined multipliers are constructed based on d’Alambert-Lagrange’s principle. Dynamic equations are presented to the mind, resolved relative accelerations. Expressions for the undetermined multipliers are defined by considering the possible deviations from the constraints equations. For constraints stabilization additional variables used to estimate the deviations caused by errors in the initial conditions and the use of numerical methods. For approximation of ordinary differential equations solution, in particular, the nonlinear equations of first order, use explicit numerical methods. Linear equations of the constraints perturbation are constructed. The matrix of the coefficients of these equations is selected in the process of the dynamic equations numerical solution. Stability with respect to initial deviations from the constraints equations and stabilization of the numerical solution depend on the values of the elements of this matrix. As a result values for the matrix of coefficients corresponding to the solution of the dynamics equations by the method of Euler and fourth order Runge-Kutta method are defined. Suggested method for solving the problem of stabilization is used for modeling of the disk motion on a plane without slipping.Работа посвящена модификации уравнений динамики механической системы со связями. Кинематическое положение системы определяется обобщёнными координатами и скоростями, на которые наложены связи. На основе принципа Даламбера-Лагранжа составляются уравнения движения в форме уравнений Лагранжа с неопределёнными множителями. Уравнения динамики приводятся к виду, разрешённому относительно ускорений. Выражения для неопределённых множителей определяются с учётом возможных отклонений от уравнений связей. Для стабилизации связей вводятся дополнительные переменные, используемые для оценки отклонений, вызванных погрешностями задания начальных условий и использования численных методов. Для аппроксимации решений обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности, нелинейных уравнений первого порядка, используются явные численные методы. Построены линейные уравнения возмущений связей, матрица коэффициентов которых выбирается в процессе численного решения уравнений динамики. Устойчивость по отношению к начальным отклонениям от уравнений связей и стабилизация численного решения зависят от значений элементов этой матрицы. В результате исследования определяются допустимые значения матрицы коэффициентов, соответствующие решению уравнений динамики методом Эйлера и методом Рунге-Кутта четвёртого порядка. Предложенный метод решения задачи стабилизации используется для моделирования движения диска по плоскости без проскальзывания.unconstrained systemholonomic constraintsnonholonomic constraintsstabilizationTaylor seriesnumerical solutionсвободная системаголономные связинеголономные связистабилизацияряд Тейлорачисленное решение1.Teodorescu P. P. Mechanical Systems; Classical Models. - Springer Science+Business Media B.V., 2009.2.Layton R. A. Principles of Analytical System Dynamics. - Springer, 1998.3.Arabyan A., Wu F. An Improved Formulation for Constrained Mechanical Systems // Multibody System Dynamics. - 1998. - Vol. 213, No 2. - Pp. 49-69.4.Мухарлямов Р. Г. Уравнения движения механических систем. - Москва: РУДН, 2001. - 99 с.5.de Jalon J. G., Bayo E. Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems. - Springer-verlag, 1988.6.Mukharlyamov R. G. Differential-Algebraic Equations of Programmed Motions of Lagrangian Dynamical System // Mechanics of Solids. - 2011. - Vol. 46, No 4. - Pp. 534-543.7.Мухарлямов Р. Г. О численном решении уравнений экстремалей вариационной задачи с ограничениями // Математика. - 2002. - Т. 479, № 4. - С. 36-43.8.Mukharlyamov R. G., Beshaw A. W. Solving Differential Equations of Motion for Constrained Mechanical Systems // Bulletin of PFUR. Series “Mathematics. Information Sciences. Physics”. - 2013. - No 3. - Pp. 81-91.9.Ardema M. D. Analytical Dynamics: Theory and Applications. - Kluwer Academic / Plenum Publishers, 2005.