Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8229ArticlesСтатьиResearch ArticleLooking for Families of Periodic Solutions of Ordinary Differential Equations Systems by Normal Form Method. Part IПоиск семейств периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода нормальной формы. Часть 1EdneralV FЕднералВиктор ФёдоровичDepartment of Applied Informatics and Probability Theory Peoples’ Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, Russian Federation, 117198Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д.6, Москва, Россия, 117198victor.edneral@yandex.ruTimofeevskayaO DТимофеевскаяОльга ДмитриевнаPhysical DepartmentКафедра физики высоких энергий и квантовой теории поля Физический факультетolgamsu1@yandex.ruSkobeltsyn Institute of Nuclear Physics Lomonosov Moscow State University (SINP MSU)НИИ ядерной физики имени Д.В. Скобельцина Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова (НИИЯФ МГУ)Lomonosov Moscow State UniversityМосковский государственный университет им. М.В. Ломоносова150320143NO3 (2014)№3 (2014)284508092016Copyright ©; 2014, Еднерал В.Ф., Тимофеевская О.Д.2014Еднерал В.Ф., Тимофеевская О.Д.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8229In this paper, we discuss the application of resonant normal form method to the search of periodic solutions families of autonomous systems of explicit ordinary differential equations with polynomial nonlinearities in the right parts. Further, using formulated by Prof. A. D. Bruno sufficient convergence condition for the normalizing transformation, we find local families of periodic solutions of systems of such ODE in the vicinity of stationary points. In this unified approach both Hamiltonian and not Hamiltonian systems are investigated. For reasons of volume the article is divided into two parts. In the first part we describe an algorithm of implementing the method of normal forms. Software packages created by the authors are briefly described separately. We have developed a RLISP language package for working in REDUCE system, and for MATHEMATICA system a package on the external language of this system. This packages allow us, in particular, to obtain formulas describing local (containing a fixed point) families of periodic solutions. The results of calculations are presented in the form of Fourier series segments of a given length with frequency and coefficients themselves calculated as parameter series segments. This representation corresponds to the special case of segments of Poisson series. It is important that using a single algorithm, one can study both two-dimensional and higher-order systems. The second part is devoted to fourth-order systems. The comparison of tabulation of formulas obtained with numerical solutions of the corresponding equations shows good quantitative agreement. The approach described can be used for modeling of physical and biological systems.В настоящей работе кратко обсуждается применение метода резонансной нормальной формы к поиску семейств периодических решений автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешённых относительно производных и с полиномиальными нелинейностями в правых частях. При использовании сформулированного проф. А.Д. Брюно достаточном условии сходимости нормализующего преобразования, находятся локальные семейства периодических решений систем таких ОДУ в окрестностях стационарных точек. При этом в едином подходе исследуются как гамильтоновы, так и не гамильтоновы системы. По соображениям объёма статья разбита на две части. В первой части описан алгоритм реализации метода нормальных форм. Отдельно кратко описаны созданные авторами программные пакеты. На языке RLISP разработан пакет для работы в системе REDUCE, а для работы с системой MATHEMATICA написан пакет на внешнем языке этой системы. Пакеты позволяют, в частности, получать формулы, описывающие локальные (содержащие неподвижную точку) семейства периодических решений. Результаты вычислений представляются в виде отрезков рядов Фурье заданной длины с частотой и коэффициентами, вычисленными в виде отрезков степенных рядов по параметру. Такое представление соответствует частному случаю отрезков рядов Пуассона. Важно, что при помощи единого алгоритма возможно изучать как двумерные, так и системы высоких порядков. Вторая часть статьи посвящена системам четвёртого порядка. Сравнение табуляции полученных формул с численными решениями соответствующих уравнений показывает хорошее количественное согласие. Описываемый подход может быть использован при моделировании физических и биологических систем.resonant normal formdynamical systemslocal periodic families of solutionscomputer algebraрезонансная нормальная формадинамические системылокальные периодические семейства решенийкомпьютерная алгебра1.Arnold V.I., Anosov D.V. Dynamical Systems I (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). - New York: Springer-Verlag, 1987.2.Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations. Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. - New York: Springer-Verlag, 1986.3.Deprit A. Canonical Transformation Depending on a Small Parameter // Celestial Mechanics. - 1969. - Vol. 1, No 1. - Pp. 12-30.4.Hori G.I. Theory of General Perturbations with Unspecified Canonical Variables // Publications of the Astronomical Society of Japan. - 1966. - Vol. 18, No 4. - Pp. 287-296.5.Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений. I // Труды московского математического общества. - 1971. - Т. 25. - С. 119-262.6.Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений. II // Труды московского математического общества. - 1972. - Т. 26. - С. 199-239.7.Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. Плоские периодические орбиты. - Москва: Наука, 1990.8.Bruno A.D. Normal Forms // Mathematics and Computers in Simulation. - 1998. - Vol. 45. - Pp. 413-427.9.Брюно А. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. - Москва: Наука-Физматлит, 1998.10.Bibikov Y.N. Local Theory of Nonlinear Analytic Ordinary Differential Equations. - New York: Springer-Verlag, Lect. Note Math., 1979. - Vol. 702.11.Mersman W.A. A New Algorithm for Lie Transformation // Celestial Mechanics. - 1970. - Vol. 3. - Pp. 81-89.12.Shevchenko I.I., Sokolsky A.G. Algorithms for Normalization of Hamiltonian Systems by Means of Computer Algebra // Computer Physics Communications. - 1993. - Vol. 77. - Pp. 11-18.13.Godziewski K., Maciejewski A.J. System for Normalization of a Hamiltonian Function Based on Lie Series // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. - 1990. - Vol. 49. - Pp. 1-10.14.Ito H. Convergence of Birkhoff Normal Forms for Integrable Systems // Commentarii Mathematici Helvetici. - 1989. - Vol. 64. - Pp. 412-461.15.Ito H. Integrability of Hamiltonian Systems and Birkhoff Normal Forms in the Simple Resonance Case // Mathematische Annalen. - 1992. - Vol. 292. - Pp. 411-444.16.Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. - Москва: Наука, 1979.17.Walcher S. On Differential Equations in Normal Form // Mathematische Annalen. - 1991. - Vol. 291. - Pp. 293-314.18.Walcher S. On Transformations into Normal Form // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1993. - Vol. 180. - Pp. 617-632.19.Vallier L. An Algorithm for the Computation of Normal Forms and Invariant Manifolds // Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, July 1993, Kiev, Ukraine. - New York: ACM Press, 1993. - Pp. 225-233.20.Martin C. F., Zhou Y. Carleman Linearization of Linear Systems with Polynomial Output: Techrep 9 / Institut Mittag-Leffler. - Sweden, 2002-2003.21.Verhulst F. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. - Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag, 1989. - 277 p.22.Bruno A. D. Bifurcation of the Periodic Solutions in the Case of a Multiple Pair of Imaginary Eigenvalues // Selecta Mathematica Formerly Sovietica. - 1993. - Vol. 12. - Pp. 1-12.23.Marsden J. E., McCracken M. The Hopf Bifurcation and its Applications. - New York: Springer Applied Mathematics Series, 1976. - Vol. 19, 408 p.24.Hassard B., Kazarinoff N. D., Wan Y. H. Theory and Applications of Hopf Bifurcation. - Cambridge: Cambridge University Press, 1981. - 280 p.25.Bruno A. D., Edneral V. F. On Possibility of Additional Solutions of the Degenerate System Near Double Degeneration at the Special Value of the Parameter // Proceedings of the 15th International Workshop Computer Algebra in Scientific Computing. September 9-13, 2013. Berlin, Germany. - Vol. 8136. - Cham Heidelberg: Springer-Verlag, series: LNCS, 2013. - Pp. 75-87.26.Edneral V. F., Khanin R. Investigation of the Double Pendulum System by the Normal Form Method in MATHEMATICA // Programming and Computer Software. - 2004. - Vol. 30, No 2. - Pp. 115-117.27.Edneral V. F., Khrustalev O. A. Propagation of Electromagnetic Waves in Thin-Film Structures with Smoothly Irregular Sections // Proceedings of International Conference on Computer Algebra and its Application in Theoretical Physics. September 1985. Dubna, USSR. - Dubna: JINR, 1985. - Pp. 219-224.28.Edneral V. F., Khrustalev O. A. Program for Recasting ODE Systems in Normal Form // Sov. J. Programmirovanie. - 1992. - No 5. - Pp. 73-80.29.Hearn A. C. REDUCE. User’s Manual. - Berkeley: Rand Publication, CP87, 1987.30.Edneral V. F., Khanin R. Multivariate Power Series and Normal Form Calculation in Mathematica // Proceedings of the Fifth Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing. September, 2002, Big Yalta, Ukraine. - Munich: Tech. Univ. M¨unchen, 2002. - Pp. 63-70.31.Edneral V. F., Khanin R. Application of the Resonant Normal Form to High Order Nonlinear ODEs using MATHEMATICA // Nuclear Instr. and Methods in Physics Research, A. - 2003. - Vol. 502, No 2-3. - Pp. 643-645.32.Edneral V. F. On Algorithm of the Normal Form Building // Proceedings of the 10th International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing. September 16-20, 2007. Bonn, Germany. - Vol. 4770. - Munich: Springer-Verlag, series LNCS, 2007. - Pp. 134-142.33.Andersen G. M., Geer J. F. Power Series Expansions for the Frequency and Period of the Limit Cycle of the Van der Pol Equation // SIAM Journal on Applied Mathematics. - 1983. - Vol. 42. - Pp. 678-693.34.Edneral V. F. Computer Evaluation of Cyclicity in Planar Cubic System // Proceedings of the ISSAC’97. July, 1997. Hawaii, USA. - New York: ACM Press, 1997. - Pp. 305-309.