Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8228ArticlesСтатьиResearch ArticleZeros and Poles of the Functions with Weak DerivativesО нулях и полюсах одного класса функций с обобщёнными производнымиShcherbakovE AЩербаковЕвгений АлександровичDepartment of Theory of FunctionsКафедра теории функцийecht@math.kubsu.ruOstroushkoE DОстроушкоЕкатерина ДмитриевнаDepartment of Theory of FunctionsКафедра теории функцийostroushko.ekaterina@gmail.comKuban State UniversityКубанский государственный университет150320143NO3 (2014)№3 (2014)172708092016Copyright ©; 2014, Щербаков Е.А., Остроушко Е.Д.2014Щербаков Е.А., Остроушко Е.Д.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8228The classic results of Gergen J. J., Dressel F. G. are generalized to the class of the functions with weak derivatives. We suppose that these derivatives could be estimated by the proper functions multiplied by the weighted functions which have singularities at isolated boundary points. The crucial point of the study is the iteration process used for the evaluations of the functions represented by the potential operators. As a result of such iterations we succeed in lowering the degree of kernel singularities of the potential operators. The above mentioned method is based on representation formula of I.N. Vekua for the functions whose weak derivatives are summable over domains. The analytic functions participating in these representations could be considered as generalized constants. We study the classes of those functions whose generalized constants have finite numbers of poles and zeros. We prove theorems on behavior of the above mentioned functions in neighborhood of their zeros. Besides we study these functions in the neighborhood of the points where they haven’t finite limits. The main result of the paper is the theorem on the number of zeros and poles of the functions under consideration. This result is the generalization of theorem from the paper of Gergen J. J., Dressel F. G.В работе обобщаются классические результаты Gergen J.J., Dressel F.G. на класс функций, имеющих обобщённые производные. Нами предполагается, что обобщённые производные функций оцениваются через основную функцию с помощью неограниченной весовой функции, имеющей особенность в изолированных точках границы. Основу метода исследования составляют оценки функций, которые представляются операторами потенциального типа, с помощью итерационных процессов. В результате таких итераций достигается понижение степеней особенностей ядер операторов потенциального типа. Использование предлагаемого в работе метода основывается на интегральном представлении И.Н. Векуа и его модификации, имеющей вид представления из работы Gergen J.J., Dressel F.G. для функций, обладающих суммируемыми по области обобщёнными производными. При этом роль произвольных обобщённых констант в таком представлении играют аналитические функции. Нами рассматриваются классы функций, для которых соответствующие им обобщённые константы имеют конечное число нулей и полюсов. В работе доказаны теоремы о поведении рассматриваемых функций в окрестностях их нулей. Кроме того, нами изучено их поведение в окрестностях точек, в которых они не имеют конечных пределов. Основной результат работы состоит в доказательстве теоремы об оценке нулей и полюсов функций рассматриваемого класса, являющейся обобщением результата работы Gergen J.J., Dressel F.G.weak derivativesintegral representation of functionszeros and poles of functionsiterated estimatesweighted functionsфункции с обобщёнными производнымиинтегральные представления функцийнули и полюсы функцийвесовые функции1.Kufner J., Jonh O., Fucik S. Function Spaces. - Prague: Academia, 1977.2.Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. - Москва: Мир, 1969. - 133 с.3.Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. - Москва: Наука, 1988. - 512 с.4.Gergen J.J., Dressel F.G. Mapping by p-regular Functions // Duke math. J. - 1951. - Vol. 18, No 1. - Pp. 185-210.5.Остроушко Е.Д. Об ограниченности функций W = W(z), представимых своими обобщенными производными по сопряженной переменной // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Сер. «Математика и информационные технологии». - 2013. - Вып. 1(5). - С. 96-100.6.Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / под ред. А. К. Гущина. - Москва: Наука, 1989.