DSc., Head of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence of RUDN University; Senior Researcher of Joint Institute for Nuclear Research
PhD Student of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence of RUDN University
Ph.D., Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence of RUDN University
Ph.D., Assistant Professor of Department of Mathematics and Applied Mathematics, Kaili University, China
Kahan's method allows approximating a dynamical system with a quadratic right-hand side using a difference scheme whose step is described by a quadratic Cremona transformation. To study such transformations, it has been proposed to use the notation of Rosanes (1870), which provides a bridge between matrix theory, which is well developed, and the theory of quadratic Cremona transformations written in projective coordinates. In this approach, the eigenvalue problem for a matrix bundle becomes the problem of finding the fundamental points of the Cremona transformation and reduces the determination of these points to a standard algebraic problem. Applying this to standard examples of dynamical systems with a quadratic right-hand side revealed a surprising observation: a common feature of the Volterra-Lotka system and the $\wp$-oscillator is that in both cases, the fundamental points have coordinates in the field of fractions of the polynomial ring $\mathbb{Q}[\Delta t]$. Explicit formulas for the fundamental points in these examples are given. This property is not typical for dynamical systems with quadratic right-hand sides and is not related to the existence of algebraic integrals.
Метод Кагана позволяет аппроксимировать динамическую систему с квадратичной правой частью разностной схемой, шаг которой описывается квадратичным преобразованием Кремоны. Для исследования таких преобразований предложено использовать нотацию Розанеса (1870), которая перекидывает мостик между теорией матриц, которая хорошо разработана, и теорий квадратичных преобразований Кремоны, записанных в проективных координатах. При этом задача на собственные значения для матричного пучка оказывается задачей об отыскании фундаментальных точек преобразования Кремоны и сводит отыскание этих точек к стандартной алгебраической задаче. Применение этого приёма к стандартным примерам динамических систем с квадратичной правой частью позволило сделать неожиданное наблюдение: систему Вольтерры-Лотки и $\wp$-осциллятор объединяет то, что в обоих случаях фундаментальные точки имеют координаты в поле частных полиномиального кольца $\mathbb{Q}[\Delta t]$. Приведены явные формулы для фундаментальных точек в этих примерах. Это свойство не является типичным для динамических систем с квадратичной правой частью и не связано с существованием алгебраических интегралов.