Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Mathematical Institute named after S. M. Nikolsky of RUDN University
Post-Graduate student of the Mathematical Institute named after S. M. Nikolsky of RUDN University
Background This paper examines a method for correcting thermographic images used in medical diagnostics. Mathematical processing of thermograms is performed within the framework of a mathematical model of a homogeneous, heat-conducting, semi-infinite cylinder of rectangular cross-section bounded by a general surface and containing time-independent heat sources. We assume that the density function of the source distribution corresponds to a body of constant thickness. Homogeneous conditions of the first kind are specified on the lateral faces of the cylinder, corresponding to zero temperature. Convective heat exchange with the external environment at zero temperature occurs on the surface bounding the cylindrical region. Taking blood flow into account leads to the stationary temperature distribution satisfying the inhomogeneous metaharmonic equation. Purpose Within the framework of the chosen model, the inverse problem of reconstructing the unknown density of heat sources from a given temperature distribution function on the surface bounding the cylinder (thermogram) is posed. This inverse problem is formulated as an ill-posed mixed problem for the metaharmonic equation with Cauchy data on the surface bounding the cylindrical region. The desired function is the right-hand side of the metaharmonic equation. Methods In this paper, the inverse problem using Green's formulas is reduced to an integral equation of the first kind, corresponding to the inverse potential problem for bodies of constant thickness. An approximate solution to the problem, robust to errors in the thermogram and, consequently, in the Cauchy data, is obtained using Tikhonov's regularization method. Results The approximate solution is constructed as a double Fourier series with a regularization factor. Convergence of the approximate solution to the problem is proven when the regularization parameter is matched to the error in the Cauchy data. Conclusions The approximate solution to the problem can be viewed as a corrected thermogram. Explicit formulas obtained for the approximate solution can be used to construct efficient computational algorithms.
Предпосылки В работе рассматривается метод коррекции термографических изображений, используемых в медицинской диагностике. Математическая обработка термограмм производится в рамках математической модели однородного теплопроводящего полубесконечного цилиндра прямоугольного сечения, ограниченного поверхностью общего вида и содержащего источники тепла, не зависящие от времени. Мы считаем, что функция плотности распределения источников соответствует телу постоянной толщины. На боковых гранях цилиндра заданы однородные условия первого рода, что соответствует нулевой температуре. На поверхности, ограничивающей цилиндрическую область имеет место конвективный теплообмен со внешней средой нулевой температуры. Учет кровотока приводит к тому, что стационарное распределение температуры удовлетворяет неоднородному метагармоническому уравнению. Цель В рамках выбранной модели поставлена обратная задача восстановления неизвестной плотности источников тепла по заданной функции распределения температуры на поверхности, ограничивающей цилиндр (термограмме). Эта обратная задача формулируется как некорректно поставленная смешанная задача для метагаромонического уравнения с данными Коши на поверхности, ограничивающей цилиндрическую область. Искомая функция - правая часть метагармонического уравнения. Методы В работе обратная задача с использованием формул Грина сведена к интегральному уравнению первого рода, соответветствущему обратной задаче потенциала для тел постоянной толщины. Приближенное решение поставленной задачи, устойчивое по отношению к погрешности в термограмме и, следовательно, в данных Коши, получено на основе метода регуляризации Тихонова. Результаты Приближенное решение построено в виде двойного ряда Фурье с регуляризирующим множителем. Доказана сходимость приближенного решения поставленной задачи при согласовании параметра регуляризации с погрешностью в данных Коши. Выводы Приближенное решение задачи может рассматриваться в качестве скорректированной термограммы. Явные формулы, полученные для приближенного решения, могут быть использованы для построения эффективных вычислительных алгоритмов.