Lecturer of the Department of Higher Mathematics of Moscow State University of Civil Engineering
Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Department of Higher Mathematics of Moscow State University of Civil Engineering
Background This article focuses on a rapidly developing area of fractional calculus that describes anomalous diffusion. Since the correct form of the fractional-order equation describing anomalous diffusion - remains an open question, the authors use examples of models based on fractional diffusion equations to examine the advantages of various fractional-order equations proposed for modelling the advection-diffusion process in media with a fractal structure. Purpose This paper examines boundary value problems for the advection-diffusion equation with Caputo and Riemann-Liouville fractional operators. Given that many authors consider in their work models with fractional-order operators obtained simply by replacing ordinary derivatives with fractional ones, the authors of this paper consider it necessary to compare fractional differential equations with various operators. We also note that one of the aims of this work is to construct an effective approximate method for solving the first initial-boundary value problem for a homogeneous fractional differential equation. Method A fractional calculus approach is used. The approximate method under consideration is based on the analytical method of separation of variables (the Fourier method). The proposed approximate method and all the necessary calculations are implemented using the Matlab programming language. Results Approximate solutions have been obtained for boundary value problems for the advection-diffusion equation with fractional operators of Caputo and Riemann-Liouville. The solutions obtained have been compared both with one another and with the classical model based on ordinary derivatives. Conclusions Based on the results obtained, the authors recommend using an equation containing the Riemann-Liouville fractional operator to model anomalous diffusion processes.
Предпосылки Статья посвящена активно развивающемуся в настоящее время разделу дробного исчисления, описывающего аномальную диффузию. Так как корректная форма уравнения дробного порядка, описывающего аномальную диффузию, - вопрос до сих пор открытый, то авторы на примерах моделей, основанных на уравнениях дробной диффузии, рассматривают преимущества того или иного уравнения дробного порядка, представленных для моделирования процесса адвекции-диффузии в средах с фрактальной структурой. Цель В работе рассматриваются краевые задачи для уравнения адвекции-диффузии с дробными операторами Капуто и Римана-Лиувилля. Учитывая, что многие авторы рассматривают в своих работах модели с операторами дробного порядка, полученные простой заменой обыкновенных производных на дробные, то авторы работы считают необходимым сравнение дробно дифференциальных уравнений с различными операторами. Так же отметим, что одной из целей работы является построение эффективного приближённого метода решения первой начально-краевой задачи для однородного дробно-дифференциального уравнения. Методы Используется аппарат дробного исчисления. В основе рассматриваемого приближённого метода лежит аналитический метод разделения переменных (Метод Фурье). Реализация предложенного приближённого метода и все необходимые вычисления выполняются на языке программирования Matlab. Результаты Получены приближённые решения краевых задач для уравнения адвекции-диффузии с дробными операторами Капуто и Римана-Лиувилля. Произведено сравнение полученных решений как между собой, так и с классической моделью, основанной на обыкновенных производных. Выводы На основе полученных результатов для моделирования процессов аномальной диффузии, авторами рекомендуется использовать уравнение, содержащее дробный оператор Римана-Лиувилля.