Doctor of Physical and Mathematical Sciences, head of the department of Mathematical Modeling and Artificial Intelligence, RUDN University, research fellow of MLIT JINR (Dubna)
The algebraic properties of difference approximations of Hamiltonian systems are investigated. Symplectic schemes exactly preserve linear and quadratic integrals by virtue of Cooper's theorem, but not the total mechanical energy of nonlinear systems. However, it is known that instead of energy, symplectic difference schemes preserve with a given order of approximation a quantity that goes over into the Hamiltonian as the time step tends to zero. The paper presents an algorithm for calculating such a modified Hamiltonian and its implementation in the Sage computer algebra system for a given symplectic difference scheme, the required order of energy conservation, and the Hamiltonian of the original mechanical system. The program successfully reproduces formulas previously derived manually, which confirms its consistency. Numerical experiments show that solutions obtained using symplectic schemes closely coincide with the level lines of the modified Hamiltonian, which emphasizes its role in preserving the qualitative behavior of the system during numerical integration over large time intervals
Исследуются алгебраические свойства разностных аппроксимаций гамильтоновых системах. Симплектические схемы точно сохраняют линейные и квадратичные интегралы в силу теоремы Купера, но не полную механическую энергию нелинейных систем. Однако известно, что вместо энергии симплектические разностные схемы сохраняют с заданным порядком аппроксимации величину, которая переходит в гамильтониан при стремлении шага по времени к нулю. В работе представлен алгоритм вычисления такого модифицированного гамильтониана и его реализация в системе компьютерной алгебры Sage по заданной симплектической разностной схемы, требуемому порядку сохранения энергии и гамильтониану исходной механической системы. Программа успешно воспроизводит формулы, ранее выведенные вручную, что подтверждает её состоятельность. Численные эксперименты показывают, что решения, полученные с помощью симплектических схем, близко совпадают с линиями уровня модифицированного гамильтониана, что подчеркивает его роль в сохранении качественного поведения системы при численном интегрировании на больших временных интервалах.