Candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor of Department of ”Mathematics named after Ts.B. Shoynzhurov” of East Siberia State University of Technology and Management, assistant professor of Department of Fundamental Mathematics of Buryat State University
Postgraduate student of Department of ”Mathematics named after Ts.B. Shoynzhurov” of East Siberia State University of Technology and Management
The article discusses a mathematical model and a finite-difference scheme for the heating process of an infinite plate. The disadvantages of using the classical parabolic heat equation for this case and the rationale for using the hyperbolic heat equation are given. The relationship between the hyperbolic thermal conductivity equation and the theory of equations with the retarded argument (delay equation) is shown. The considered mixed equation has 2 parts: parabolic and hyperbolic. Difference schemes use an integrointerpolation method to reduce errors. The problem with a nonlinear thermal conductivity coefficient was chosen as the initial boundary-value problem. The heat source in the parabolic part of the equation is equal to 0, and in the hyperbolic part of the equation sharp heating begins. The initial boundary-value problem with boundary conditions of the third kind in an infinite plate with nonlinear coefficients is formulated and numerically solved. An iterative method for solving the problem is described. A visual graph of the solution results is presented. A theoretical justification for the difference scheme is given. Also we consider the case of the nonlinear mixed equation of the fourth order.
В статье рассматривается математическая модель и конечно-разностная схема процесса нагрева бесконечной пластины. Приводятся недостатки использования классического параболического уравнения теплопроводности для данного случая и обоснования для использования смешанного уравнения. Показана связь гиперболического уравнения теплопроводности с теорией уравнений с запаздывающим аргументом (уравнением с запаздыванием). В смешанном уравнении присутствуют 2 части: параболическая и гиперболическая. В разностных схемах применяется интегро-интерполяционный метод для уменьшения погрешностей. В качестве краевой задачи выбрана задача с нелинейным коэфффициентом теплопроводности. Источник тепла в параболической части уравнения равен 0, а в гиперболической части уравнения начинается резкий нагрев. Поставлена и численно решена начально-краевая задача с краевыми условиями третьего рода в бесконечной пластине с линейными и с нелинейными коэффициентами. Описан итерационный метод для решения задачи. Представлен наглядный график результатов решения. Дано теоретическое обоснование для разностной схемы. Также рассмотрен случай нелинейного смешанного уравнения четвертого порядка.