PhD student of Probability Theory and Cyber Security
PhD student of Probability Theory and Cyber Security
Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Probability Theory and Cyber Security
Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Probability Theory and Cyber Security
Doctor of Sciences in Physics and Mathematics, Professor of Department of Probability Theory and Cyber Security of Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University); Senior Researcher of Laboratory of Information Technologies, Joint Institute for Nuclear Research
Usually, when working with the eikonal equation, reference is made to its derivation in the monograph by Born and Wolf. The derivation of this equation was done rather carelessly. Understanding this derivation requires a certain number of implicit assumptions. For a better understanding of the eikonal approximation and for methodological purposes, the authors decided to repeat the derivation of the eikonal equation, explicating all possible assumptions. Methodically, the following algorithm for deriving the eikonal equation is proposed. The wave equation is derived from Maxwell’s equation. In this case, all conditions are explicitly introduced under which it is possible to do this. Further, from the wave equation, the transition to the Helmholtz equation is carried out. From the Helmholtz equation, with the application of certain assumptions, a transition is made to the eikonal equation. After analyzing all the assumptions and steps, the transition from the Maxwell’s equations to the eikonal equation is actually implemented. When deriving the eikonal equation, several formalisms are used. The standard formalism of vector analysis is used as the first formalism. Maxwell’s equations and the eikonal equation are written as three-dimensional vectors. After that, both the Maxwell’s equations and the eikonal equation use the covariant 4-dimensional formalism. The result of the work is a methodically consistent description of the eikonal equation.
Обычно при работе с уравнением эйконала ссылаются на его вывод в монографии Борна и Вольфа. Вывод этого уравнения выполнен достаточно небрежно. Для того чтобы разобраться в этом выводе, требуется определённое число имплицитных предположений. Для лучшего понимания приближения эйконала и для методических целей авторы решили повторить вывод уравнения эйконала, эксплицировав все возможные допущения. Методически предлагается следующий алгоритм вывода уравнения эйконала. Из уравнения Максвелла выводится волновое уравнение. При этом явно вводятся все условия, при которых это возможно сделать. Далее от волнового уравнения осуществляется переход к уравнению Гельмгольца. От уравнения Гельмгольца при приложении определённых допущений производится переход к уравнению эйконала. После разбора всех допущений и шагов реализуется собственно переход от уравнений Максвелла к уравнению эйконала. При выводе уравнения эйконала используется несколько формализмов. В качестве первого формализма используется стандартный формализм векторного анализа. Уравнения Максвелла и уравнение эйконала записывается в виде трёхмерных векторов. После этого и для уравнений Максвелла, и для уравнения эйконала используется ковариантный 4-мерный формализм. Результатом работы является методически выдержанное описание уравнения эйконала.