Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)3510710.22363/2658-4670-2023-31-2-105-119VUBLKPArticlesСтатьиResearch ArticleHeterogeneous queueing system with Markov renewal arrivals and service times dependent on states of arrival processГетерогенная система массового обслуживания с входящим потоком марковского восстановления и временем обслуживания, зависящими от состояний вложенной цепи Марковаhttps://orcid.org/0000-0002-0250-2368PolinEvgeny P.ПолинЕ. П.

Assistant of Department of Probability Theory and Mathematical Statistics

polin_evgeny@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0001-9285-155556436490300MoiseevaSvetlana P.МоисееваС. П.

Doctor in Physics and Mathematics, Professor at Department of Probability Theory and Mathematical Statistics

smoiseeva@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0003-2369-452X55646953800N-7189-2014MoiseevAlexander N.МоисеевА. Н.

Doctor in Physics and Mathematics, Head of the Department of Software Engineering

moiseev.tsu@gmail.comNational Research Tomsk State UniversityНациональный исследовательский Томский государственный университетNational Research Tomsk Polytechnic UniversityНациональный исследовательский Томский политехнический университет30062023312VOL 31, NO2 (2023)ТОМ 31, №2 (2023)10511929062023Copyright ©; 2023, Polin E.P., Moiseeva S.P., Moiseev A.N.Copyright ©; 2023, Полин Е.П., Моисеева С.П., Моисеев А.Н.2023Polin E.P., Moiseeva S.P., Moiseev A.N.Полин Е.П., Моисеева С.П., Моисеев А.Н.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/35107

In the proposed work, we consider a heterogeneous queueing system with a Markov renewal process and an unlimited number of servers. The service time for requests on the servers is a positive random variable with an exponential probability distribution. The service parameters depend on the state of the Markov chain nested over the renewal moments. It should be noted that these parameters do not change their values until the end of maintenance. Thus, the devices in the system under consideration are heterogeneous. The object of the study is a multidimensional random process - the number of servers of each type being served with different intensities in the stationary regime. The method of asymptotic analysis under the condition of equivalent growing of service times in the units of servers is applied for the study. The method of asymptotic analysis is implemented in the construction of a sequence of asymptotic of increasing order, in which the asymptotic of the first order determines the asymptotic mean value of the number of occupied servers. The second-order asymptotic allows one to construct a Gaussian approximation of the probability distribution of the number of occupied servers in the system. It is shown that this approximation coincides with the Gaussian distribution.

В работе рассматривается гетерогенная система массового обслуживания с входящим потоком марковского восстановления и неограниченным числом серверов. Время обслуживания запросов на серверах является положительной случайной величиной с экспоненциальным распределением вероятностей. Параметры обслуживания зависят от состояния цепи Маркова в моменты восстановления. Следует отметить, что эти параметры не меняют своих значений до окончания обслуживания. Таким образом, устройства в рассматриваемой системе являются неоднородными (гетерогенными). Объектом исследования становится многомерный случайный процесс - количество серверов каждого типа, обслуживаемых с разной интенсивностью в стационарном режиме. Для исследования применён метод асимптотического анализа при условии эквивалентно долгого времени обслуживания. Метод асимптотического анализа реализуется при построении последовательности асимптотик возрастающего порядка, в которой асимптотика первого порядка определяет асимптотическое среднее значение числа занятых серверов. Асимптотика второго порядка позволяет построить гауссовскую аппроксимацию распределения вероятностей числа занятых серверов в системе.

queuing systemrandom environmentMarkov renewal processasymptotic analysis methodсистема массового обслуживанияслучайная средапоток марковского восстановленияметод асимптотического анализаA. Dudin, V. Klimenok, and V. Vishnevsky, The Theory of Queuing Systems with Correlated Flow. Springer Nature, 2020. DOI: 10.1007/9783-030-32072-0.V. K. Malinovskii, “Asymptotic expansions in the central limit theorem for recurrent Markov renewal processes,” Theory of Probability & Its Applications, vol. 51, no. 3, pp. 523–526, 1987. DOI: 10.1137/1131073.Y. Lim, S. Hur, and J. Seung, “Departure process of a single server queueing system with Markov renewal input and general service time distribution,” Computers & Industrial Engineering, vol. 51, no. 3, pp. 519– 525, 2006. DOI: 10.1016/j.cie.2006.08.011.R. Pyke, “Markov renewal processes: definitions and preliminary properties,” Ann. Math. Statist., vol. 32, pp. 1231–1242, 1961. DOI: 10.1214/aoms/1177704863.R. Pyke and R. Schaufele, “Stationary measures for Markov renewal processes,” Ann. Math. Statist., vol. 37, pp. 1439–1462, 1966. DOI: 10.1214/aoms/1177699138.J. Sztrik and D. Kouvatsos, “Asymptotic analysis of a heterogeneous multiprocessor system in a randomly changing environment,” IEEE Transactions on Software Engineering, vol. 17, no. 10, pp. 1069–1075, 1991. DOI: 10.1109/32.99194.E. P. Polin, S. P. Moiseeva, and S. V. Rozhkova, “Asymptotic analysis of heterogeneous queueing system M|M|∞ in a Markov random enviroment [Asimptoticheskiy analiz neodnorodnoy sistemy massovogo obsluzhivaniya M|M|∞ v markovskoy sluchaynoy srede],” Tomsk State University Jounal of Control and Computer Science [Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika], vol. 47, pp. 75–83, 2019, in Russian. DOI: 10.17223/19988605/ 47/9.E. P. Polin, S. P. Moiseeva, and A. N. Moiseev, “Heterogeneous queueing system MR(S)|M(S)|∞ with service parameters depending on the state of the underlying Markov chain [Analiz veroyatnostnykh kharakteristik geterogennoy SMO vida MR(S)|M(S)|∞ s parametrami obsluzhivaniya, zavisyashchimi ot sostoyaniya vlozhennoy tsepi Markova],” Saratov University News. New Series. Series Mathematics. Mechanics. Informatics [Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform.], vol. 20, no. 3, pp. 388–399, 2020, in Russian. DOI: 10.18500/1816-9791-2020-20-3-388-399.B. D’Auria, “M|M|∞ queues in semi-Markovian random environment,” Queueing Systems, vol. 58, pp. 221–237, 2008. DOI: 10.1007/s11134-008-9068-7.H. M. Jansen, “A large deviations principle for infinite-server queues in a random environment,” Queueing Systems, vol. 82, pp. 199–235, 2016. DOI: 10.1007/s11134-015-9470-x.J. Blom, M. Mandjes, and H. Thorsdottir, “Time-scaling limits for Markov-modulated infinite-server queues,” Stochastic Models, vol. 29, pp. 112–127, 2012. DOI: 10.1080/15326349.2013.750536.