Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)3095110.22363/2658-4670-2022-30-2-127-138ArticlesСтатьиResearch ArticleMultistage pseudo-spectral method (method of collocations) for the approximate solution of an ordinary differential equation of the first orderМногостадийный псевдоспектральный метод (метод коллокаций) приближенного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядкаhttps://orcid.org/0000-0002-3645-1060LovetskiyKonstantin P.ЛовецкийК. П.

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor of Department of Applied Probability and Informatics

lovetskiy-kp@rudn.ruhttps://orcid.org/0000-0002-0877-7063KulyabovDmitry S.КулябовД. С.

Docent, Doctor of Sciences in Physics and Mathematics, Professor at the Department of Applied Probability and Informatics

kulyabov-ds@rudn.ruhttps://orcid.org/0000-0003-1100-4966HisseinAli WeddeyeХиссенАли Уэддей

student of Department of Applied Probability and Informatics

1032209306@rudn.ruPeoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)Российский университет дружбы народовJoint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследований03052022302VOL 30, NO2 (2022)ТОМ 30, №2 (2022)12713803052022Copyright ©; 2022, Lovetskiy K.P., Kulyabov D.S., Hissein A.W.Copyright ©; 2022, Ловецкий К.П., Кулябов Д.С., Хиссен А.У.2022Lovetskiy K.P., Kulyabov D.S., Hissein A.W.Ловецкий К.П., Кулябов Д.С., Хиссен А.У.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/30951

The classical pseudospectral collocation method based on the expansion of the solution in a basis of Chebyshev polynomials is considered. A new approach to constructing systems of linear algebraic equations for solving ordinary differential equations with variable coefficients and with initial (and/or boundary) conditions makes possible a significant simplification of the structure of matrices, reducing it to a diagonal form. The solution of the system is reduced to multiplying the matrix of values of the Chebyshev polynomials on the selected collocation grid by the vector of values of the function describing the given derivative at the collocation points. The subsequent multiplication of the obtained vector by the two-diagonal spectral matrix, ‘inverse’ with respect to the Chebyshev differentiation matrix, yields all the expansion coefficients of the sought solution except for the first one. This first coefficient is determined at the second stage based on a given initial (and/or boundary) condition. The novelty of the approach is to first select a class (set) of functions that satisfy the differential equation, using a stable and computationally simple method of interpolation (collocation) of the derivative of the future solution. Then the coefficients (except for the first one) of the expansion of the future solution are determined in terms of the calculated expansion coefficients of the derivative using the integration matrix. Finally, from this set of solutions only those that correspond to the given initial conditions are selected.

Рассмотрен классический псевдоспектральный метод коллокации, основанный на разложении решения по базису из полиномов Чебышева. Новый подход к формированию систем линейных алгебраических уравнений для решения обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и с начальными (и/или граничными) условиями позволяет значительно упростить структуру матриц, приводя её к диагональной форме. Решение системы сводится к умножению матрицы значений полиномов Чебышева на выбранной сетке коллокации на вектор значений функции, описывающей заданную производную в точках коллокации. Следующее за этой операцией умножение полученного вектора на двухдиагональную спектральную «обратную» по отношению к матрице дифференцирования Чебышева приводит к получению всех коэффициентов разложения искомого решения за исключением первого. Этот первый коэффициент определяется на втором этапе исходя из заданного начального (и/или граничного) условия. Новизна подхода заключается в том, чтобы сначала выделить класс (множество) функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению, с помощью устойчивого и простого с вычислительной точки зрения метода интерполяции (коллокации) производной будущего решения. Затем рассчитать коэффициенты (кроме первого) разложения будущего решения по вычисленным коэффициентам разложения производной с помощью матрицы интегрирования. И лишь после этого выделять из этого множества решений те, которые соответствуют заданным начальным условиям.

initial value problemspseudo spectral collocation methodChebyshev polynomialsGauss-Lobatto setsnumerical stabilityначальные задачиметод псевдоспектральных коллокациймногочлены Чебышевамножества Гаусса-Лобатточисленная устойчивостьThis paper has been supported by the RUDN University Strategic Academic Leadership Program.J. P. Boyd, Chebyshev and Fourier spectral methods, 2nd ed. Dover Books on Mathematics, 2013.J. C. Mason and D. C. Handscomb, Chebyshev polynomials. London: Chapman and Hall/CRC Press, 2002.B. Fornberg, A practical guide to pseudospectral methods. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1996. DOI: 10.1017/cbo9780511626357.M. Planitz et al., Numerical recipes: the art of scientific computing, 3rd. New York: Cambridge University Press, 2007.J. Shen, T. Tang, and L.-L. Wang, Spectral methods. Berlin, Heidelberg: Springer, 2011, vol. 41.S. Olver and A. Townsend, “A fast and well-conditioned spectral method”, SIAM Rev., vol. 55, no. 3, pp. 462-489, 2013. DOI: 10.1137/120865458.S. Chandrasekaran and M. Gu, “Fast and stable algorithms for banded plus semiseparable systems of linear equations”, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, vol. 25, no. 2, pp. 373-384, 2003. DOI: 10.1137/S0895479899353373.A. Iserles, A first course in the numerical analysis of differential equations, 2nd edition. Cambridge: Cambridge University Press, 2008. DOI: 10. 1017/CBO9780511995569.X. Zhang and J. P. Boyd, “Asymptotic coefficients and errors for Chebyshevpolynomialapproximationswithweakendpointsingularities: effects of different bases”, Online. https://arxiv.org/pdf/2103.11841.pdf, 2021.J. P. Boyd and D. H. Gally, “Numerical experiments on the accuracy of the Chebyshev-Frobenius companion matrix method for finding the zeros of a truncated series of Chebyshev polynomials”, Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 205, no. 1, pp. 281-295, 2007. DOI: 10.1016/j.cam.2006.05.006.D. Dutykh, “A brief introduction to pseudo-spectral methods: application to diffusion problems”, Online. https://arxiv.org/pdf/1606.05432.pdf, 2016.A. Amiraslani, R. M. Corless, and M. Gunasingam, “Differentiation matrices for univariate polynomials”, Numer. Algorithms, vol. 83, no. 1, pp. 1-31, 2020. DOI: 10.1007/s11075-019-00668-z.E. Hairer, G. Wanner, and S. P. Nørsett, Solving ordinary differential equations I. Berlin: Springer, 1993. DOI: 10.1007/978-3-540-78862-1.L. N. Trefethen, Spectral methods in MATLAB. Philadelphia: SIAM, 2000.K. P. Lovetskiy, L. A. Sevastianov, D. S. Kulyabov, and N. E. Nikolaev, “Regularized computation of oscillatory integrals with stationary points”, Journal of Computational Science, vol. 26, pp. 22-27, 2018. DOI: 10. 1016/j.jocs.2018.03.001.L. A. Sevastianov, K. P. Lovetskiy, and D. S. Kulyabov, “An effective stable numerical method for integrating highly oscillating functions with a linear phase”, Lecture Notes in Computer Science, vol. 12138, pp. 29- 43, 2020. DOI: 10.1007/978-3-030-50417-5_3.