Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor
The paper considers the class of Hamiltonian systems with two degrees of freedom. Based on the classical normal form, according to the rules of Born-Jordan and Weyl-MacCoy, its quantum analogs are constructed for which the eigenvalue problem is solved and approximate formulas for the energy spectrum are found. For particular values of the parameters of quantum normal forms using these formulas, numerical calculations of the lower energy levels were performed, and the obtained results were compared with the known data of other authors. It was found that the best and good agreement with the known results is obtained using the Weyl-MacCoy quantization rule. The procedure for normalizing the classical Hamilton function is an extremely time-consuming task, since it involves hundreds and even thousands of polynomials for the necessary transformations. Therefore, in the work, normalization is performed using the REDUCE computer algebra system. It is shown that the use of the Weyl-MacCoy and Born-Jordan correspondence rules leads to almost the same values for the energy spectrum, while their proximity increases for large quantities of quantum numbers, that is, for highly excited states. The canonical transformation is used in the work, the quantum analog of which allows us to construct eigenfunctions for the quantum normal form and thus obtain analytical formulas for the energy spectra of different Hamiltonian systems. So, it is shown that quantization of classical Hamiltonian systems, including those admitting the classical mode of motion, using the method of normal forms gives a very accurate prediction of energy levels.
В статье рассматривается класс гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. На основе классической нормальной формы, согласно правилам Борна-Йордана и Вейля-Маккоя, построены её квантовые аналоги, для которых решена задача на собственные значения и найдены приближённые формулы для энергетического спектра. Для конкретных значений параметров квантовых нормальных форм с использованием этих формул были проведены численные расчёты нижних энергетических уровней, полученные результаты были сопоставлены с известными данными других авторов. Обнаружено, что наилучшее согласие с известными результатами достигается с использованием правила квантования Вейля-Маккоя. Процедура нормализации классической функции Гамильтона является крайне трудоёмкой задачей, так как вовлекает сотни и даже тысячи многочленов для необходимых преобразований. Поэтому в работе нормализация выполняется с помощью системы компьютерной алгебры REDUCE. Показано, что использование правил соответствия Борна- Йордана и Вейля-Маккоя приводит практически к одним и тем же значениям для энергетического спектра, при этом их близость увеличивается для больших величин квантовых чисел, то есть для высоковозбуждённых состояний. В работе использовано каноническое преобразование, квантовый аналог которого позволяет построить собственные функции для квантовой нормальной формы и получить таким образом аналитические формулы для энергетических спектров разных гамильтоновых систем. Итак, показано, что квантование классических гамильтоновых систем, в том числе допускающих классический режим движения, с применением метода нормальных форм даёт очень точное предсказание уровней энергии.