Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science

2658-46702658-7149

Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)

29430

10.22363/2658-4670-2021-29-4-387-398

Articles

Статьи

Research Article

On involutive division on monoids

Об инволютивном делении на моноидах

https://orcid.org/0000-0002-5691-7331

Kroytor

Oleg K.

Кройтор

О. К.

PhD student of Department of Applied Probability and Informatics

kroytor_ok@pfur.ru

https://orcid.org/0000-0001-6541-6603

Malykh

Mikhail D.

Малых

М. Д.

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Assistant professor of Department of Applied Probability and Informatics of Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University); Researcher in Meshcheryakov Laboratory of Information Technologies, Joint Institute for Nuclear Research

malykh_md@pfur.ru

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)Российский университет дружбы народов

Joint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследований

12112021

294

VOL 29, NO4 (2021)

ТОМ 29, №4 (2021)

38739812112021

2021

Kroytor O.K., Malykh M.D.

Кройтор О.К., Малых М.Д.

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0

https://journals.rudn.ru/miph/article/view/29430

We consider an arbitrary monoid $M$ , on which an involutive division is introduced, and the set of all its finite subsets Set $M$ . Division is considered as a mapping ${d:SetM \times M}$ , whose image ${d(U,m)}$ is the set of divisors of $m$ in $U$ . The properties of division and involutive division are defined axiomatically. Involutive division was introduced in accordance with the definition of involutive monomial division, introduced by V.P. Gerdt and Yu.A. Blinkov. New notation is proposed that provides brief but explicit allowance for the dependence of division on the Set $M$ element. The theory of involutive completion (closures) of sets is presented for arbitrary monoids, necessary and sufficient conditions for completeness (closedness) - for monoids generated by a finite set $X$ . The analogy between this theory and the theory of completely continuous operators is emphasized. In the last section, we discuss the possibility of solving the problem of replenishing a given set by successively expanding the original domain and its connection with the axioms used in the definition of division. All results are illustrated with examples of Thomas monomial division.

Рассматривается произвольный моноид $M$ , на котором введено инволютивное деление, и множество всех его конечных подмножеств Set $M$ . Деление рассматривается как отображение ${d:SetM \times M}$ , образ которого ${d(U,m)}$ - множество делителей $m$ в $U$ . Свойства деления и инволютивного деления задаются аксиоматически. Понятия инволютивного деления введено в соответствии с определением инволютивного мономиального деления, введённым В.П. Гердтом и Ю.А. Блинковым. Предложен ряд новых обозначений, позволяющих коротко, но явно учитывать зависимость деления от элемента Set $M$ . Теория инволютивного пополнения (замыкания) множеств изложена для произвольных моноидов, необходимые и достаточные условия полноты (замкнутости) - для моноидов, порождённых конечным множеством $X$ . Подчёркнута аналогия между этой теорией и теорией вполне непрерывных операторов. В последнем разделе обсуждена возможность решения задачи о пополнении заданного множества путём последовательного расширения исходной области и её связь с аксиомами, используемыми в определении деления. Все результаты проиллюстрированы примерами о мономиальном делении Томаса.

involutive monomial divisionGröbner basis

инволютивное мономиальное делениебазис Грёбнера

C. Riquier, Les Systèmes d’Equations aux Dérivées Partielles. Paris: Gauthier-Villars, 1910.

M. Janet, “Systèmes d’équations aux dérivées partielles,” Journals de mathématiques, 8e série, vol. 3, pp. 65-151, 1920.

J. Thomas, Differential systems. New York: American Mathematical Society, 1937.

A. Y. Zharkov, “Involutive polynomial bases: general case,” in Preprint JINR E5-94-224. Dubna, 1994.

A. Y. Zharkov and Y. A. Blinkov, “Involutive bases of zero-dimensional ideals,” in Preprint JINR E5-94-318. Dubna, 1994.

A. Y. Zharkov and Y. A. Blinkov, “Solving zero-dimensional involutive systems,” in Progress in Mathematics. Basel: Birkhauser, 1996, vol. 143, pp. 389-399. DOI: 10.1007/978-3-0348-9104-2_20.

A. Y. Zharkov and Y. A. Blinkov, “Involution approach to investigating polynomial systems,” Mathematics and Computers in Simulation, vol. 42, pp. 323-332, 1996. DOI: 10.1016/S0378-4754(96)00006-7.

V. P. Gerdt and Y. A. Blinkov, “Involutive bases of polynomial ideals,” Mathematics and Computers in Simulation, vol. 45, no. 5-6, pp. 519- 541, 1998. DOI: 10.1016/s0378-4754(97)00127-4.

V. P. Gerdt, “Gröbner bases and involutive methods for algebraic and differential equations,” Mathematical and computer modelling, vol. 25, no. 8-9, pp. 75-90, 1997. DOI: 10.1016/S0895-7177(97)00060-5.

10.

V. P. Gerdt and Y. A. Blinkov, “Involutive divisions of monomials,” Programming and Computer Software, vol. 24, no. 6, pp. 283-285, 1998.

11.

Y. A. Blinkov, “Division and algorithms in the ideal membership problem [Deleniye i algoritmy v zadache o prinadlezhnosti k idealu],” Izvestija Saratovskogo universiteta, vol. 1, no. 2, pp. 156-167, 2001, in Russian.

12.

V. P. Gerdt. “Compact involutive monomial bases.” (2020), [Online]. Available: https://events.rudn.ru/event/102.

13.

Y. A. Blinkov, “Involutive methods applied to models described by systems of algebraic and differential equations [Involyutivnyye metody issledovaniya modeley, opisyvayemykh sistemami algebraicheskikh i differentsial’nykh uravneniy],” in Russian, Ph.D. dissertation, Saratov State University, Saratov, 2009.

14.

J. Apel, “A Gröbner approach to involutive bases,” Journal of Symbolic Computation, vol. 19, no. 5, pp. 441-458, 1995. DOI: 10.1006/jsco. 1995.1026.

15.

A. Y. Zharkov and Y. A. Blinkov, “Involution approach to solving systems of algebraic equations,” in Proceedings of the 1993 International IMACS Symposium on Symbolic Computation. Laboratoire d’Informatique Fondamentale de Lille, France, 1993, pp. 11-16.