engineer, Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics
To apply the incomplete Galerkin method to the problem of the scattering of electromagnetic waves by lenses, it is necessary to study the differential equations for the field amplitudes. These equations belong to the class of linear ordinary differential equations with Fuchsian singularities and, in the case of the Lüneburg lens, are integrated in special functions of mathematical physics, namely, the Whittaker and Heun functions. The Maple computer algebra system has tools for working with Whittaker and Heun functions, but in some cases this system gives very large values for these functions, and their plots contain various kinds of artifacts. Therefore, the results of calculations in the Maple’11 and Maple’2019 systems of special functions related to the problem of scattering by a Lüneburg lens need additional verification. For this purpose, an algorithm for finding solutions to linear ordinary differential equations with Fuchsian singular points by the method of Frobenius series was implemented, designed as a software package Fucsh for Sage. The problem of scattering by a Lüneburg lens is used as a test case. The calculation results are compared with similar results obtained in different versions of CAS Maple. Fuchs for Sage allows computing solutions to other linear differential equations that cannot be expressed in terms of known special functions.
Для применения неполного метода Галёркина к задаче о рассеянии электромагнитных волн на линзах необходимо исследовать дифференциальные уравнения для амплитуд полей. Эти уравнения принадлежат к классу линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с фуксовыми особенностями и, в случае линзы Люнеберга, интегрируются в специальных функциях математической физики - функциях Уиттекера и Гойна. В системе компьютерной алгебры Maple имеются инструменты для работы с функциями Уиттекера и Гойна, однако в ряде случаев эта система выдаёт очень большие значения для этих функций, а их графики содержат разного рода артефакты. Поэтому результаты вычислений в системах Maple’11 и Maple’2019 специальных функций, связанных с задачей рассеяния на линзе Люнеберга, нуждаются в дополнительной проверке. С этой целью был реализован алгоритм нахождения решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с фуксовыми особыми точками методом рядов Фробениуса, оформленный в виде пакета программ Fuchs for Sage. Задача рассеяния на линзе Люнеберга используется в качестве тестового примера. Результаты расчётов сопоставляются с аналогичными результатами работы в CAS Maple разных версий. Пакет Fucsh for Sage позволяет вычислять решения и других линейных дифференциальных уравнений, решения которых не выражаются через известные специальные функции.