Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2470410.22363/2658-4670-2020-28-3-230-251ArticlesСтатьиResearch ArticleAsymptotic solution of Sturm-Liouville problem with periodic boundary conditions for relativistic finite-difference Schrödinger equationАсимптотическое решение задачи Штурма-Лиувилля с периодическими граничными условиями для релятивистского конечно-разностного уравнения ШрёдингераAmirkhanovIlkizar V.АмирхановИ. В.

Candidate of Physical and Mathemati- cal Sciences, head of the group of Methods for Solving Mathematical Physics Problems of Laboratory of Information Technologies (LIT)

camir@jinr.ruKolosovaIrina S.КолосоваИ. С.

PhD’s degree student of Department of Applied Probability and Informatics

i.se.kolosova@gmail.comVasilyevSergey A.ВасильевС. А.

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor of Department of Applied Probability and Informatics

vasilyev-sa@rudn.ruJoint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследованийPeoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)Российский университет дружбы народов15122020283VOL 28, NO3 (2020)ТОМ 28, №3 (2020)23025128092020Copyright ©; 2020, Amirkhanov I.V., Kolosova I.S., Vasilyev S.A.Copyright ©; 2020, Амирханов И.В., Колосова И.С., Васильев С.А.2020Amirkhanov I.V., Kolosova I.S., Vasilyev S.A.Амирханов И.В., Колосова И.С., Васильев С.А.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/24704

The quasi-potential approach is very famous in modern relativistic particles physics. This approach is based on the so-called covariant single-time formulation of quantum field theory in which the dynamics of fields and particles is described on a space-like three-dimensional hypersurface in the Minkowski space. Special attention in this approach is paid to methods for constructing various quasi-potentials. The quasipotentials allow to describe the characteristics of relativistic particles interactions in quark models such as amplitudes of hadron elastic scatterings, mass spectra, widths of meson decays and cross sections of deep inelastic scatterings of leptons on hadrons. In this paper Sturm–Liouville problems with periodic boundary conditions on a segment and a positive half-line for the 2m-order truncated relativistic finite-difference Schrödinger equation (Logunov–Tavkhelidze–Kadyshevsky equation, LTKT-equation) with a small parameter are considered. A method for constructing of asymptotic eigenfunctions and eigenvalues in the form of asymptotic series for singularly perturbed Sturm–Liouville problems with periodic boundary conditions is proposed. It is assumed that eigenfunctions have regular and boundary-layer components. This method is a generalization of asymptotic methods that were proposed in the works of A. N. Tikhonov, A. B. Vasilyeva, and V. F Butuzov. We present proof of theorems that can be used to evaluate the asymptotic convergence for singularly perturbed problems solutions to solutions of degenerate problems when ε→0 and the asymptotic convergence of truncation equation solutions in the case m→∞. In addition, the Sturm–Liouville problem on the positive half-line with a periodic boundary conditions for the quantum harmonic oscillator is considered. Eigenfunctions and eigenvalues

are constructed for this problem as asymptotic solutions for 4-order LTKT-equation.

Описание взаимодействия релятивистских частиц в рамках квазипотенциального подхода широко применяется в современной физике. Этот подход основан на так называемой ковариантной формулировке квантовой теории поля, в которой эта теория рассматривается на пространственно-подобной трёхмерной гиперповерхности в пространстве Минковского. Особое внимание в этом подходе уделяется методам построения различных квазипотенциалов, а также использованию квазипотенциального подхода для описания характеристик связанных состояний в кварковых моделях, таких как амплитуды адронного упругого рассеяния, масс-спектры и ширины распадов мезонов, сечения глубокого неупругого рассеяния лептонов на адронах.

В настоящей работе сформулированы задачи Штурма–Лиувилля с периодическими граничными условиями на отрезке и на положительной полупрямой для усечённого релятивистского конечно-разностного уравнения Шрёдингера (уравнение Логунова–Тавхелидзе–Кадышевского, LTKT-уравнение) с малым параметром при старшей производной.

Целью работы является построение асимптотических решений (собственных функций и собственных значений) в виде регулярных и погранслойных частей решений для этой сингулярно возмущённой задачи Штурма–Лиувилля. Основная задача исследования состоит в асимптотическом анализе поведенческих решений рассматриваемой задачи в случае ε→0 и m→∞. Нами был предложен метод построения асимптотических решений (собственных функций и собственных значений), который является обобщением асимптотических методов решения сингулярно возмущённых задач, представленных в работах А. Н. Тихонова, А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова. Основной результат данной работы — доказанные теоремы об асимптотической сходимости решений сингулярно возмущённой задачи к решениям вырожденной задач при ε→0 и сходимости решений усечённого LTKT-уравнения в случае m→∞. Кроме того, в статье нами рассматривается задача Штурма–Лиувилля на положительной полуоси для LTKT-уравнения 4-го порядка с периодическими граничными условиями для квантового гармонического осциллятора. Для этой задачи построены асимптотические приближения собственных функций и собственных значений и показана их сходимость к решению вырожденной задачи.

asymptotic analysissingularly perturbed differential equationSturm-Liouville problemrelativistic finite-difference Schrödinger equationperiodic boundary conditionsquasi-potential approachасимптотический анализсингулярно возмущённое дифференциальное уравнениезадача Штурма-Лиувиллярелятивистское конечно-разностное уравнение Шрёдингерапериодические краевые условияквазипотенциальный подходThe publication has been prepared with the support of the “RUDN Univer- sity Program 5-100” and funded by RFBR according to the research projects No. 18-07-00567.A. A. Atanasov and A. T. Marinov, “ℏ-Expansion for bound states described by the relativistic three-dimensional two-particle quasi-potential equation,” Theoretical and Mathematical Physics, vol. 129, no. 1, pp. 1400-1407, 2001. DOI: 10.1023/A:1012423629038.Y. D. Chernichenko, “On a solution of the relativistic inverse problem for the sum of nonlocal separable quasipotentials,” Russian Physics Journal, vol. 55, no. 6, pp. 699-711, 2012. DOI: 10.1007/s11182-012-9869-3.V. G. Kadyshevsky, R. M. Mir-Kasimov, and N. B. Skachkov, “Quasipotential Approach and the Expansion in Relativistic Spherical Functions,” Nuovo Cimento A, vol. 55, no. 2, pp. 233-257, 1968. DOI: 10.1007/ BF02759225.V. G. Kadyshevsky and M. Mateev, “On a Relativistic Quasipotential Equation in the Case of Particles with Spin,” Nuovo Cimento A, vol. 55, no. 2, pp. 275-300, 1968. DOI: 10.1007/BF02759227.V. G. Kadyshevsky, “Quasipotential type equation for the relativistic scattering amplitude,” Nuclear Physics, no. 1, pp. 125-148, 1968.A. A. Logunov and A. N. Tavkhelidze, “Quasi-optical approach in quantum field theory,” Nuovo Cimento, vol. 29, pp. 380-399, 1963. DOI: 10.1007/BF02750359.A. A. Logunov and A. N. Tavkhelidze, “Quasi-potential character of the scattering amplitude,” Nuovo Cimento, vol. 30, pp. 134-142, 1963. DOI: 10.1007/BF02750754.A. A. Logunov, A. N. Tavkhelidze, and O. A. Khrustalev, “Quasipotential character of the Mandelstam representation,” Physics Letters, vol. 4, no. 6, pp. 325-326, 1963.V. A. Matveev, V. I. Savrin, A. N. Sissakian, and A. N. Tavkhelidze, “Relativistic Quark Models in the Quasipotential Approach,” Theoretical and Mathematical Physics, vol. 132, no. 2, pp. 1119-1136, 2002. DOI: 10.1023/A:1019704709192.A. Pokraka and R. Dick, “Dimensional effects on the density of states in systems with quasi-relativistic dispersion relations and potential wells,” Canadian Journal of Physics, vol. 94, no. 8, pp. 773-779, 2016. DOI: 10.1139/cjp-2015-0758.K. A. Sveshnikov and P. K. Silaev, “Quasi-exact solution of a relativistic finite-difference analogue of the Schrödinger equation for a rectangular potential well,” Theoretical and Mathematical Physics, vol. 132, no. 3, pp. 408-433, 2002. DOI: 10.1023/A:1020220104534.K. A. Sveshnikov and P. K. Silaev, “Quasi-exact solution of the problem of relativistic bound states in the (1+1)-dimensional case,” Theoretical and Mathematical Physics, vol. 149, no. 3, pp. 1665-1689, 2006. DOI: 10.1007/s11232-006-0150-1.V. S. Minh, E. P. Zhidkov, and V. G. Kadyshevsky, “Solutions of relativistic radial quasipotential equations,” Theoretical and Mathematical Physics, vol. 63, no. 2, pp. 493-503, 1985. DOI: 10.1007/BF01017906.I. V. Amirkhanov, E. P. Zhidkov, I. E. Zhidkova, and S. A. Vasilyev, “Construction of an asymptotic approximation of eigenfunctions and eigenvalues of a boundary value problem for the singular perturbed relativistic analog of the Schrödinger equation with an arbitrary potential [Asimptotika sobstvennyh funkcij i sobstvennyh znachenij kraevoj zadachi dlya singulyarno vozmushchennogo relyativistskogo analoga uravneniya Schrödingera pri proizvol’nom potenciale],” Mathematical Models and Computer Simulations [Matematicheskoe modelirovanie], vol. 15, no. 9, pp. 3-16, 2003, in Russian.I. V. Amirkhanov, E. P. Zhidkov, D. Z. Muzafarov, N. R. Sarker, I. Sarhadov, and Z. A. Sharipov, “Investigation of boundary-value problems for the singular perturbed differential equation of high order [Issledovanie kraevyh zadach dlya singulyarno-vozmushchennogo differencial’nogo uravneniya vysokogo poryadka],” Mathematical Models and Computer Simulations [Matematicheskoe modelirovanie], vol. 19, no. 11, pp. 65-79, 2007, in Russian.I. V. Amirkhanov, N. R. Sarker, I. Sarhadov, Z. K. Tukhliev, and A. Sharipov, “Analytical and Computational Investigations of Solutions of Boundary-Value Problems for the Quasipotential Equation [Analiticheskoe i chislennoe issledovaniya reshenij kraevyh zadach dlya kvazipotencial’nogo uravneniya],” Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series Mathematics. Information Sciences. Physics [Vestnik Rossijskogo universiteta druzhby narodov. Seriya: Matematika, informatika, fizika], no. 4, pp. 44-52, 2012, in Russian.V. O. Galkin, R. N. Faustov, and D. Ebert, “Logunov-Tavkhelidze equation in the relativistic quark model,” Theoretical and Mathematical Physics, vol. 191, no. 2, pp. 641-648, 2017. DOI: 10. 1134/S0040577917050038.N. Alam and S. Mandal, “On the quantum phase fluctuations of coherent light in a chain of two anharmonic oscillators coupled through a linear one,” Optics Communications, vol. 366, pp. 340-348, 2016. DOI: 10. 1016/j.optcom.2016.01.019.Z. Chen, “Mapping quantum many-body system to decoupled harmonic oscillators: general discussions and examples,” Physics Letters A, vol. 382, no. 37, pp. 2613-2617, 2018. DOI: 10.1016/j.physleta.2018.07.043.E. P. Zhidkov, V. G. Kadyshevsky, and Y. V. Katyshev, "Problem of the c→∞ limit in the relativistic Schrodinger equation," Theoretical and Mathematical Physics, vol. 3, no. 2, pp. 443-446, 1970. DOI: 10.1007/BF01046508.