Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2470310.22363/2658-4670-2020-28-3-216-229ArticlesСтатьиResearch ArticleApplication of a computer algebra systems to the calculation of the \(\pi\pi\)-scattering amplitudeПрименение средств компьютерной алгебры к вычислению амплитуды \(\pi\pi\)-рассеянияKalinovskyYuriy L.КалиновскийЮ. Л.

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, senior researcher

kalinov@jinr.ruFriesenAlexandra V.ФризенА. В.

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, researcher of Joint Institute for Nuclear Research

avfriesen@theor.jinr.ruRogozhinaElizaveta D.РогожинаЕ. Д.

Student of Dubna State University; Senior laboratory assistant of Joint Institute for Nuclear Research

liorinoff@mail.ruGolyatkinaLyubov’ I.ГоляткинаЛ. И.

Student of Dubna State University; Senior laboratory assistant of Joint Institute for Nuclear Research

lubovgolyatkina@mail.ruJoint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследованийDubna State UniversityУниверситет «Дубна»15122020283VOL 28, NO3 (2020)ТОМ 28, №3 (2020)21622928092020Copyright ©; 2020, Kalinovsky Y.L., Friesen A.V., Rogozhina E.D., Golyatkina L.I.Copyright ©; 2020, Калиновский Ю.Л., Фризен А.В., Рогожина Е.Д., Голяткина Л.И.2020Kalinovsky Y.L., Friesen A.V., Rogozhina E.D., Golyatkina L.I.Калиновский Ю.Л., Фризен А.В., Рогожина Е.Д., Голяткина Л.И.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/24703

The aim of this work is to develop a set of programs for calculation the scattering amplitudes of the elementary particles, as well as automating the calculation of amplitudes using the appropriate computer algebra systems (Mathematica, Form, Cadabra). The paper considers the process of pion-pion scattering in the framework of the effective Nambu-Iona-Lasinio model with two quark flavours. The Package-X for Mathematica is used to calculate the scattering amplitude (starting with the calculation of Feynman diagrams and ending with the calculation of Feynman integrals in the one-loop approximation). The loop integrals are calculated in general kinematics in Package-X using the Feynman parametrization technique. A simple check of the program is made: for the case with zero temperature, the scattering lengths \(a_0 = 0.147\) and \(a_2 = -0.0475\) are calculated and the total cross section is constructed. The results are compared with other models as well as with experimental data.

Целью данной работы является разработка программ для расчёта амплитуды рассеяния элементарных частиц, а также автоматизация таких расчётов с использованием систем компьютерной алгебры (Mathematica, Form, Cadabra). В статье рассматривается процесс рассеяния пиона на пионе в рамках эффективной КХД-мотивированной модели Намбу-Иона-Лазинио с двумя ароматами кварков. Для расчёта амплитуды рассеяния (начиная с расчёта Фейнмановских диаграмм и заканчивая вычислением Фейнмановских интегралов в однопетлевом приближении) использовался пакет  Package-X для Mathematica. Интегралы Фейнмана в однопетлевом приближении вычислялись для случая общей кинематики. В Package-X в основе вычисления интегралов лежит метод Фейнмановской параметризации с последующей пространственной регуляризацией. Для проверки корректности вычислений был произведён расчёт длин рассеяния \(a_0 = 0.147\) и \(a_2 = -0.0475\) для случая нулевой температуры, и было построено полное сечение рассеяния как функции \(s\). Полученные результаты сравнивались с другими моделями и экспериментальными данными.

Feynman integralsone-loop approximationtotal sross sectionscattering lengtha computer algebraPackage-XФейнмановские интегралыоднопетлевое приближениеполное сечение рассеяниядлины рассеяниясистемы компьютерной алгебрыPackage-XThis work was supported by the Russian Fund for Basic Research (RFBR) under grant no. 18-02-40137.S. P. Klevansky, “The Nambu—Jona-Lasinio model of quantum chromodynamics,” Reviews of Modern Physics, vol. 64, pp. 649–708, 3 Jul. 1992. DOI: 10.1103/RevModPhys.64.649.Wei-jie Fu and Yu-xin Liu, “Mesonic excitations and pi–pi scattering lengths at finite temperature in the two-flavor Polyakov–Nambu–Jona- Lasinio model,” 2009. arXiv: 0904.2914 [hep-ph].V. Jos. (1989). “FORM (symbolic manipulation system),” [Online]. Available: https://www.nikhef.nl/~form/.P. Kasper. (2020). “Cadabra,” [Online]. Available: https://cadabra. science/.R. Mertig, M. Bohm, and A. Denner, “FEYN CALC: Computer algebraic calculation of Feynman amplitudes,” Computer Physics Communications, vol. 64, pp. 345–359, 1991. DOI: 10.1016/0010-4655(91)90130-D.T. Hahn and M. Perez-Victoria, “Automatized one loop calculations in four-dimensions and D-dimensions,” Computer Physics Communications, vol. 118, pp. 153–165, 1999. DOI: 10.1016/S0010-4655(98)00173-8. arXiv: hep-ph/9807565.T. Binoth, J.-P. Guillet, G. Heinrich, E. Pilon, and T. Reiter, “Golem95: A Numerical program to calculate one-loop tensor integrals with up to six external legs,” Computer Physics Communications, vol. 180, pp. 2317–2330, 2009. DOI: 10.1016/j.cpc.2009.06.024. arXiv: 0810.0992 [hep-ph].G. Passarino and M. Veltman, “One-loop corrections for e+e− annihilation into µ+µ− in the Weinberg model,” Nuclear Physics B, vol. 160, no. 1, pp. 151–207, 1979. DOI: 10.1016/0550-3213(79)90234-7.H. H. Patel, “Package-X: A Mathematica package for the analytic calculation of one-loop integrals,” Computer Physics Communications, vol. 197, pp. 276–290, Dec. 2015. DOI: 10.1016/j.cpc.2015.08.017.D. Ebert, Y. L. Kalinovsky, L. Munchow, and M. K. Volkov, “Mesons and diquarks in a NJL model at finite temperature and chemical potential,” International Journal of Modern Physics A, vol. 8, pp. 1295–1312, 1993. DOI: 10.1142/S0217751X93000539.M. L. Goldberger and S. B. Treiman, “Decay of the pi meson,” Physical Review, vol. 110, pp. 1178–1184, 1958. DOI: 10.1103/PhysRev.110.1178.E.Quack, P. Zhuang, Y. L. Kalinovsky, S. P. Klevansky, and J.Hufner, “ππ scattering lengths at finite temperature,” Physics Letters B, vol. 348, pp. 1–6, 1995.S. Narison, “Techniques of dimensional regularization and the two-point functions of QCD and QED,” Physics Reports, vol. 84, no. 4, pp. 263–399, 1982. DOI: 10.1016/0370-1573(82)90023-0.J. D. Bjorken and S. D. Drell, Relativistic quantum mechanics, ser. International series in pure and applied physics. New York, NY: McGraw-Hill, 1964.H. J. Schulze, “Pion pion scattering lengths in the SU(2) Nambu-Jona-Lasinio model,” Journal of Physics G, vol. 21, pp. 185–191, 1995. DOI: 10.1088/0954-3899/21/2/006.V. Srinivasan et al., “π−π+ → π−π+ interactions below 0.7 GeV from π−p→π−π+n data at 5 GeV/c,” Physical Review D, vol. 12, pp. 681–692, 3 Aug. 1975. DOI: 10.1103/PhysRevD.12.681.S. D. Protopopescu, M. Alston-Garnjost, A. Barbaro-Galtieri, S. M. Flatté, J. H. Friedman, T. A. Lasinski, G. R. Lynch, M. S. Rabin, and F. T. Solmitz, “ππ Partial-Wave Analysis from Reactions π+p → π+π−∆++ and π+p → K+K−∆++ at 7.1 GeV/c,” PPhysical Review D, vol. 7, pp. 1279–1309, 5 Mar. 1973. DOI: 10.1103/PhysRevD.7.1279.Y. L. Kalinovsky, V. D. Toneev, and A. V. Friesen, “Phase diagram of baryon matter in the SU(2) Nambu – Jona-Lasinio model with a Polyakov loop,” Physics-Uspekhi, vol. 59, no. 4, pp. 367–382, 2016. DOI: 10.3367/UFNe.0186.201604b.0387.S. R. Cotanch and P. Maris, “QCD based quark description of pi pi scattering up to the sigma and rho region,” Physical Review D, vol. 66, p. 116 010, 2002. DOI: 10. 1103 / PhysRevD. 66. 116010. arXiv: hep-ph/0210151.V. Bernard, U. G. Meissner, A. Blin, and B. Hiller, “Four point functions in quark flavor dynamics: Meson meson scattering,” Physics Letters B, vol. 253, pp. 443–450, 1991. DOI: 10.1016/0370-2693(91)91749-L.