Lecturer of Department of Applied Mathematics
There are many queuing systems that accept single arrivals, accumulate them and service only as a group. Examples of such systems exist in various areas of human life, from traffic of transport to processing requests on a computer network. Therefore, our study is actual. In this paper some class of finite Markovian queueing models with single arrivals and group services are studied. We considered the forward Kolmogorov system for corresponding class of Markov chains. The method of obtaining bounds of convergence on the rate via the notion of the logarithmic norm of a linear operator function is not applicable here. This approach gives sharp bounds for the situation of essentially non-negative matrix of the corresponding system, but in our case it does not hold. Here we use the method of ‘differential inequalities’ to obtaining bounds on the rate of convergence to the limiting characteristics for the class of finite Markovian queueing models. We obtain bounds on the rate of convergence and compute the limiting characteristics for a specific non-stationary model too. Note the results can be successfully applied for modeling complex biological systems with possible single births and deaths of a group of particles.
Существует множество систем массового обслуживания, которые принимают единичные требования, накапливают их и обслуживают только как группу. Примеры таких систем можно найти в различных областях человеческой жизни от трафика транспортных перевозок до обработки запросов в компьютерных сетях. Этим обуславливается актуальность нашего исследования. В этой статье изучается некоторый класс конечных марковских моделей массового обслуживания с одиночным прибытием и групповым обслуживанием. Рассмотрена прямая система Колмогорова для соответствующего класса цепей Маркова. Метод определения границ сходимости, основанный на понятии логарифмической нормы, здесь не применим. Такой подход даёт точные оценки для моделей, для которых матрица соответствующей системы существенно неотрицательна, но в нашем случае это не так. Здесь мы использовали новый метод «дифференциальных неравенств» для получение оценки скорости сходимости для этого класса конечных марковских моделей. Кроме того, мы получили оценки скорости сходимости и вычислили предельные характеристики и для соответствующей нестационарной модели. Заметим, что результаты могут быть успешно применены для моделирования сложных биологических систем, в которых возможны рождения новых особей только по одной и гибель групп.