Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)2219410.22363/2658-4670-2019-27-1-33-41Computational modeling and simulationЧисленное и имитационное моделированиеResearch ArticleThe symbolic problems associated with Runge-Kutta methods and their solving in SageЗадачи символьных вычислений, связанные с методами Рунге-Кутты и их решение в SageYingYuИнЮй

postgraduate student of Department of Applied Probability and Informatics of Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University); assistant professor of Department of Algebra and Geometry, Kaili University

yingy6165@gmail.comPeoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)Российский университет дружбы народовKaili UniversityУниверситет Каили15122019271VOL 27, NO1 (2019)ТОМ 27, №1 (2019)334120112019Copyright ©; 2019, Ying Y.Copyright ©; 2019, Ying Y.2019Ying Y.Ying Y.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/22194

Runge-Kutta schemes play a very important role in solving ordinary differential equations numerically. At first we want to present the Sage routine for calculation of Butcher matrix, we call it an rk package. We tested our Sage routine in several numerical experiments with standard and symplectic schemes and verified our result by corporation with results of the calculations made by hand.Second, in Sage there are the excellent tools for investigation of algebraic sets, based on Gröbner basis technique. As we all known, the choice of parameters in Runge- Kutta scheme is free. By the help of these tools we study the algebraic properties of the manifolds in affine space, coordinates of whose are Butcher coefficients in Runge-Kutta scheme. Results are given both for explicit Runge-Kutta scheme and implicit Runge-Kutta scheme by using our rk package. Examples are carried out to justify our results. All calculation are executed in the computer algebra system Sage.

Схемы Рунге-Кутты играют очень важную роль в численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе  представлен пакет rk, являющийся подпрограммой Sage для вычисления матрицы Бутчера. Было проведено несколько численных экспериментов со стандартными и симплектическими схемами и проведена верификация  с аналитическими результатами вычислений. Во-вторых, в Sage есть превосходные инструменты для исследования алгебраических множеств, основанные на методе базиса Грёбнера. Как известно, выбор параметров в схеме Рунге-Кутты свободен. С помощью этих инструментов получены алгебраические свойства многообразий в аффинном пространстве, координатами которых являются коэффициенты Бутчера в схеме Рунге-Кутты. Результаты приведены как для явной схемы Рунге-Кутты, так и для неявной схемы Рунге-Кутты с использованием разработанного  пакета rk. Также приведены примеры для обоснования полученных результатов. Все расчеты выполнены в системе компьютерной алгебре Sage.

Sympletic Runge-Kutta SchemeGröbner basisSageSagemathСимплетическая схема Рунге-Кутты, базис Гребнера, Sage, SagemathE. Hairer, G. Wanner, S. P. Nørsett, Solving ordinary differential equations, 3rd Edition, Vol. 1, Springer, New York, 2008.The Sage Developers, SageMath, the Sage Mathematics Software System (Version 7.4) (2016). URL https://www.sagemath.orgW. Stein, D. Joyner, SAGE: system for algebra and geometry experimentation, ACM SIGSAM Bulletin 39 (2) (2005) 61-64.A. Y. Golubkov, A. I. Zobnin, S. O. V., Computer algebra in the Sage system. Manual [Komp’yuternaya algebra v sisteme Sage. Uchebnoye posobiye], Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 2013, in Russian.S. I. Khashin, A symbolic-numeric approach to the solution of the Butcher equations, Canadian Applied Mathematics Quarterly 17 (3) (2009) 555-569.S. I. Khashin, Butcher algebras for Butcher systems, Numerical Algorithms 63 (4) (2013) 679-689. doi:10.1007/s11075-012-9647-x.J. H. Verner, Explicit Runge-Kutta pairs with lower stage-order, Numerical Algorithms 65 (3) (2014) 555-577. doi:10.1007/s11075-012-9647-x.E. Hairer, G. Wanner, C. Lubich, Geometric numerical integration. Structure-preserving algorithms for ordinary differential equations, 2nd Edition, Springer, New York, 2000.J. M. Sanz-Serna, Symplectic Runge-Kutta schemes for adjoint equations, automatic differentiation, optimal control, and more, SIAM REVIEW 58 (1) (2016) 3-33. doi:10.1137/151002769.M. N. Gevorkyan, J. V. Gladysheva, Symplectic integrators and the problem of wave propagation in layered media, Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series: Mathematics. Information Sciences. Physics (1) (2012) 50-60, in Russian.Nuan Fang Xu, Zi-Chen Deng, Yan Wang, Kai Zhang, A symplectic Runge-Kutta method for the analysis of the tethered satellite system, Multidiscipline Modeling in Materials and Structures 13 (1) (2017) 26-35. doi:10.1108/MMMS-11-2016-0060.