Candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor of Department of Applied Probability and Informatics of Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН
We consider a waveguide of a constant cross-section S with ideally conducting walls. We assume that the filling of waveguide doesn’tchange along its axis and is described by the piecewise continuous functions ε and μ defined on waveguide cross-section. We show that it is possible to make substitutionwhich allows to work only with continuous functions.
Instead of noncontinuous cross-components of an electromagnetic field E and H we offer to use four potentials ue,uh and ve,vh. We can prove as the generalization of Tikhonov—Samarskii theorem that any field in the waveguide allows representation in such form if we consider the potentials ue,uh as elements of Sobolev space Wo21(S) and the potentials ve,vh as elements of Sobolev space W21(S).
If ϵ and m are the piecewise constant functions then Maxwell’s equations written in four potentialsreduce to a pair of independent systems. This statement give us new approach to theinvestigation of spectral properties of waveguides. First, we can prove the completenessof the system of the normal waves in closed waveguides using standard functionalspaces. Secondly, we can offer new technique for calculation of the normal waves usingstandard finite elements. FreeFem++ program for calculation of disperse lines ofwaveguides is presented. The question of calculation of modes at great values of k=ω/c is also considered.
Рассматривается волновод постоянного поперечного сечения S с идеальным проведением стенками. Предполагается, что заполнение волновода не изменяется вдоль его оси и описывается кусочными непрерывными функциями ε и μ на поперечном сечении волновода. Показано, что возможно сделать замену переменных, которая позволяет работать только с непрерывными функциями. Вместо разрывных поперечных компонент электромагнитного поля E и H мы предлагаем использовать четыре потенциала ue,uh и ve,vh. Мы можем доказать как обобщение теоремы Тихонова—Самарского, что любое поле в волноводе допускает представление в такой форме, если мы рассматриваем потенциалы ue,uh как элементы пространства Соболева W21(S), а потенциалы ve,vh, как элементы пространства Соболева W21(S). Если ε и μ- кусочные постоянные функции, то уравнения Максвелла, записанные в четырёх потенциалах, сводятся к двум независимым системам. Это обстоятельство даёт нам новый подход к исследованию спектральных свойств волноводов. Во-первых, мы можем доказать полноту системы нормальных волн в закрытых волноводах, используя стандартные функциональные пространства. Во-вторых, мы можем предложить новую технику для вычисления нормальных волн, используя стандартные конечные элементы. В конце статьи представлена программа, написанная на языке FreeFem++, для вычисления дисперсионных линий волновода. Также рассмотрен вопрос о вычислении мод при больших значениях k=ω/c.