Amirkhanov I. V. - Senior Researcher, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Head of Sector “Scientific Division of Computational Physics”. Laboratory of Information Technologies of the Joint Institute for Nuclear Research, Dubna
Амирханов Илькизар Валиевич - старший научный сотрудник, кандидат физико математических наук, начальник сектора Научного отдела вычислительной физики Лаборатории информационных технологий Объединённого института ядерных исследований, г. Дубна
Sarker Nil Ratan - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher “Scientific Division of Computational Physics”. Laboratory of Information Technologies of the Joint Institute for Nuclear Research, Dubna
Саркар Нил Ратан (Бангладеш) - кандидат физико математических наук, старший научный сотрудник Научного отдела вычислительной физики Лаборатории информационных технологий Объединённого института ядерных исследований, г. Дубна
One of the most common methods for investigating multiparticle problems in the frameworkof the variational approach is the transition to a nonlinear one-particle problem by introducinga self-consistent field that depends on the states of these particles. The paper considers anonlinear boundary value eigenvalue problem for the Schr¨odinger equation with a growingpotential including a dependence on the wave function and a power dependence on the coordinate = where = 1,2,3.... For n = 2, the boundary value problem for the Schr¨odinger equation(linear problem) has an exact solution. For even powers of , it is shown that solutions of sucha problem can be expressed in terms of solutions corresponding to the linear problem, and for= 2 the solution can be obtained in explicit form. The set of solutions obtained for= 2 ischaracterized by equal distances between neighboring eigenvalues. It is shown that the solutionof the nonlinear problem differs from the solution of the linear problem by the shift of theeigenvalues. In the case of a potential higher than the quadratic one, new growing potentialsof a lesser degree appear. For the case of odd values of, the transition is discussed, from theintegro-differential formulation of the problem to a system of differential equations which can besolved numerically on the basis of the method of successive approximations, which has provedits effectiveness in the study of the polaron model.
Один из распространённых методов исследования многочастичных задач в рамках вариационного подхода - переход к нелинейной одночастичной задаче путём введения самосогласованного поля, зависящего от состояний этих частиц. В работе рассматривается нелинейная краевая задача на собственные значения для уравнения Шрёдингера с растущим потенциалом, включающим зависимость от волновой функции и степенную зависимость от координаты , = 1,2,3. . .. При = 2 краевая задача для уравнения Шрёдингера (линейная задача) имеет точное решение. Для чётных степеней n показано,что решения такой задачи можно выразить через решения соответствующей линейной задачи, причём при= 2 решение удаётся получить в явном виде. Получаемый для= 2 набор решений характеризуется эквидистантностью расстояний между соседними собственными значениями. Показано, что решение нелинейной задачи отличается от решения линейной сдвигом собственных значений. В случае потенциала выше квадратичного, появляются новые растущие потенциалы меньшей степени. Для случая нечётных значений обсуждается переход от интегро-дифференциальной формулировки задачи к системе дифференциальных уравнений, которая может быть решена численно на основе метода последовательных приближений, подтвердивший свою эффективность при исследовании модели полярона.