Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)1621010.22363/2312-9735-2017-25-3-253-265Modeling and SimulationМатематическое моделированиеResearch ArticleThe Boundary Value Problem for Elliptic Equation in the Corner Domain in the Numerical Simulation of Magnetic SystemsКраевая задача для уравнения эллиптического типа в области с углом в математическом моделировании магнитных системPerepelkinE EПерепелкинЕвгений Евгеньевичperepelkin.evgeny@phys.msu.ruPolyakovaR VПоляковаРимма Васильевнаpolykovarv@mail.ruKovalenkoA DКоваленкоАлександр Дмитриевичkovalen@dubna.ruSysoevP NСысоевП Нapc_box@mail.ruSadovnikovaM BСадовниковаМарианна Борисовнаapc_box@mail.ruTarelkinA AТарелкинАлександр Алексеевичtarelkin.aleksandr@physics.msu.ruYudinI PЮдинИван Павловичyudin@jinr.ruLomonosov Moscow State UniversityФГОУ ВПО МГУ им. М.В. ЛомоносоваJoint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследований15122017253VOL 25, NO3 (2017)ТОМ 25, №3 (2017)25326506062017Copyright ©; 2017, Perepelkin E.E., Polyakova R.V., Kovalenko A.D., Sysoev P.N., Sadovnikova M.B., Tarelkin A.A., Yudin I.P.Copyright ©; 2017, Перепелкин Е.Е., Полякова Р.В., Коваленко А.Д., Сысоев П.Н., Садовникова М.Б., Тарелкин А.А., Юдин И.П.2017Perepelkin E.E., Polyakova R.V., Kovalenko A.D., Sysoev P.N., Sadovnikova M.B., Tarelkin A.A., Yudin I.P.Перепелкин Е.Е., Полякова Р.В., Коваленко А.Д., Сысоев П.Н., Садовникова М.Б., Тарелкин А.А., Юдин И.П.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/16210

Modern accelerator systems and detectors contain magnetic systems of complex geometrical configuration. Design and optimization of the magnetic systems demands solving a nonlinear boundary-value problem of magnetostatic. The region in which the boundary-value problem is solved, consists of two sub-domains: a domain of vacuum and a domain of ferromagnetic. In view of the complex geometrical configuration of magnetic systems, the ferromagnetic/vacuum boundary can be nonsmooth, i.e. it contains a corner point near of which the boundary is formed by two smooth curves crossed in a corner point at some angle. Thereby, the solution of such a problem has to be found by numerical methods, a question arises about the behavior of the boundary value problem solution around the angular point of the ferromagnetic. This work shows that if the magnetic permeability function meets certain requirements, the corresponding solution of the boundary value problem will have a limited gradient. In this paper, an upper estimate of maximum possible growth of the magnetic field in the corner domain is given. In terms of this estimate, a method of condensing the differential mesh near the corner domain is proposed. This work represents an algorithm of constructing an adaptive mesh in the domain with a boundary corner point of ferromagnetic taking into account the character of behavior of the solution of the boundary value problem. An example of calculating a model problem in the domain containing a corner point is given.

Современные ускорительные системы и детекторы содержат магнитные системы сложной геометрической конфигурации. Проектирование и оптимизация магнитных систем требует решения нелинейной краевой задачи магнитостатики. Область, в которой решается краевая задача, состоит из двух подобластей: область вакуума и область ферромагнетика. Из-за сложной геометрической конфигурации магнитных систем граница раздела сред ферромагнетик/вакуум может являться негладкой, то есть содержать угловую точку, в окрестности которой граница образована двумя гладкими кривыми, пересекающимися в угловой точке под некоторым углом. В связи с тем, что решение краевой задачи приходится искать численными методами, встает вопрос о поведении решения в окрестности угловой точки ферромагнетика. Показано, что если функция магнитной проницаемости удовлетворяет определенным условиям, то соответствующее решение краевой задачи будет иметь ограниченный градиент. Дается верхняя оценка допустимого роста магнитного поля в окрестности угловой точки. На основании полученной оценки предлагается метод сгущения разностной сетки вблизи угловой точки, учитывающий характер поведения решения краевой задачи. Приводятся примеры расчета магнитных систем в области, содержащей «угловую точку».

magnet systemsmathematical modelingboundary value problemelliptic equationsthe behavior of solutions in the corner domainмагнитные системыматематическое моделированиекраевая задачаэллиптические уравненияповедение решения в угловой точкеG. Strang, G. Fix, An Analysis of the Finite Element Method. Second edition, Wellesley-Cambridge Press, 2008.Strang G., Fix G. An Analysis of the Finite Element Method. Second edition. Wellesley-Cambridge Press, 2008.E.P. Zhidkov, E.E. Perepelkin, An analytical approach for Quasi-Linear Equation in Secondary Order, Computational Methods in Applied Mathematics 1 (2001) 285–297.Zhidkov E.P., Perepelkin E.E. An analytical approach for Quasi-Linear Equation in Secondary Order // Computational Methods in Applied Mathematics. 2001. Vol. 1, issue 3. Pp. 285-297.E.E. Perepelkin, R.V. Polyakova, I. P. Yudin, The Boundary Value Problem for Elliptic Equation in the Corner Domain, Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia (2) (2014) 410–414, in Russian.Перепёлкин Е.Е., Полякова Р.В., Юдин И.П. Краевая задача для эллиптических уравнений в области с «угловой точкой» // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. 2014. Т. 2. С. 410-414.E.A. Volkov, Method of meshes and infinite domains with a piecewise smooth boundary, Dokl. Akad. Nauk SSSR 168(3) (1966) 978–981, in Russian.Волков Е.А. Метод сеток и бесконечных доменов с кусочно-гладкой границей // Доклалы академии наук СССР. 1966. Т. 168(3). С. 978-981.V.V. Shaidurov, Numerical Solution of the Dirichlet Problem in a Domain with Angles, Nauka, Novosobirsk, 1982, in Russian.Шайдуров В.В. Численное решение задачи Дирихле в области с углами // Вычислительные методы в прикладной математике. Новосибирск: Наука, 1982.P. Yudin, V.A. Panacik, E.E. Perepelkin, R.V. Polyakova, A.N. Petersky, Peculiar Features of Numerical Modeling of the Modified Spectrometer Magnet Field, Computer Research and Modeling 7 (1) (2015) 93–105.Peculiar Features of Numerical Modeling of the Modified Spectrometer Magnet Field /E. Perepelkin, et al., The ATLAS Experiment at the CERN Large Hadron Collider, Vol. 3, Aad, JINST, 2008.P. Yudin, V.A. Panacik, E.E. Perepelkin, R. V. Polyakova, A. N. Petersky // Computer Research and Modeling. 2015. Vol. 7, No 1. Pp. 93-105.E. Perepelkin, et al., Commissioning of the Magnetic Field in the ATLAS Spectrometer, Vol. 177–178, 2008.Perepelkin E. et al. The ATLAS Experiment at the CERN Large Hadron Collider. Aad, JINST, 2008. Vol. 3, 437 p.Perepelkin E. et al. Commissioning of the Magnetic Field in the ATLAS Spectrometer. 2008. Vol. 177-178, Pp. 265-266.