Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)1620610.22363/2312-9735-2017-25-3-234-252Modeling and SimulationМатематическое моделированиеResearch ArticleApplication of the Harmonic Linearization Method to the Study a Control Systems with a Self-Oscillatory RegimeПрименение метода гармонической линеаризации к исследованию автоколебательного режима систем с управлениемKulyabovD SКулябовДмитрий Сергеевич

Department of Applied Probability and Informatics; Laboratory of Information Technologies Joint Institute for Nuclear Research 6 Joliot-Curie St., Dubna, Moscow region, 141980, Russian Federation

Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей; Лаборатория информационных технологий, Объединённый институт ядерных исследований, ул. Жолио-Кюри 6, Дубна, Московская область, Россия, 141980

kulyabov_ds@rudn.universityKorolkovaA VКорольковаАнна Владиславовна

Department of Applied Probability and Informatics

Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей

korolkova_av@rudn.universityVelievaT RВелиеваТатьяна Рефатовна

Department of Applied Probability and Informatics

Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей

velieva_tr@rudn.universityPeoples’ Friendship University of Russia (RUDN UniversityРоссийский университет дружбы народов15122017253VOL 25, NO3 (2017)ТОМ 25, №3 (2017)23425206062017Copyright ©; 2017, Kulyabov D.S., Korolkova A.V., Velieva T.R.Copyright ©; 2017, Кулябов Д.С., Королькова А.В., Велиева Т.Р.2017Kulyabov D.S., Korolkova A.V., Velieva T.R.Кулябов Д.С., Королькова А.В., Велиева Т.Р.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/16206

In data transmission networks implemented as systems with control, the phenomenon of global synchronization can occur. Outwardly, this phenomenon manifests itself as a self-oscillating mode in the system. This mode negatively affects the characteristics of the entire system, such as throughput and transmission delays. Relevant is the problem of finding the areas of occurrence of self-oscillation. The authors investigated this problem for the system as a whole. Also, the problem of isolating the elements of the system responsible for the appearance of an autooscillatory regime is urgent. The complexity of this problem is caused by the essentially nonlinear character of the system and its elements. Often, the linearization method is used for the decomposition of the system. But with the linearization, the self-oscillatory regime disappears. There is a need to find a method of decomposition, non-destructive self-oscillating mode of the system. As such a method, the authors suggest using the method of harmonic linearization. This method is used in the control theory. However, we must admit that this mathematical apparatus is little known to researchers specializing in the study of networks. The authors tried to describe in as much detail the process of research using the method of harmonic linearization. The method is used to study the influence of the form of RED-type function on the occurrence of self-oscillation mode. Thus, this material is more methodical than exploratory one.

В сетях передачи данных, реализуемых как системы с управлением, может возникать явление глобальной синхронизации. Внешне это явление проявляется как автоколебательный режим в системе, который негативным образом влияет на такие характеристики системы как пропускная способность и задержки передачи. Ранее авторами исследовалась задача нахождения зон возникновения автоколебаний для системы в целом. Авторам представляется актуальной задача выделения элементов системы, ответственных за возникновение автоколебательного режима. Сложность этой задачи вызвана существенно нелинейным характером системы и её элементов. Зачастую для декомпозиции системы применяют метод линеаризации. Но в этом случае пропадает автоколебательный режим. Таким образом возникает необходимость поиска метода декомпозиции, не разрушающего автоколебательный режим системы. В качестве такого метода авторы предлагают использовать метод гармонической линеаризации, применяемый в теории автоматического управления. Однако приходится признать, что данный математический аппарат мало знаком исследователям, специализирующимся на исследовании систем и сетей передачи данных. Авторы постарались как можно более подробно описать применение метода гармонической линеаризации к исследованию влияния функции сброса пакетов по алгоритму RED в системе с управлением на процесс возникновения автоколебательного режима. Таким образом, данный материал носит скорее методический, чем исследовательский характер.

REDtraffic active managementcontrol theoryself-oscillating modemethod of harmonic linearizationактивное управление трафикомтеория управленияавтоколебательный режимметод гармонической линеаризацииS. Floyd, V. Jacobson, Random Early Detection Gateways for Congestion Avoidance, IEEE/ACM Transactions on Networking 1 (4) (1993) 397–413. doi:10.1109/90.251892.Floyd S., Jacobson V. Random Early Detection Gateways for Congestion Avoidance // IEEE/ACM Transactions on Networking. 1993. Vol. 1, No 4. Pp. 397-413.V. Jacobson, Congestion Avoidance and Control, ACM SIGCOMM Computer Communication Review 18 (4) (1988) 314–329. arXiv:arXiv:1011.1669v3, doi:10.1145/52325.52356.Jacobson V. Congestion Avoidance and Control // ACM SIGCOMM Computer Communication Review. 1988. Vol. 18, No 4. Pp. 314-329.A.V. Korolkova, D.S. Kulyabov, A.I. Chernoivanov, On the Classification of RED Algorithms, Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series: Mathematics. Information Sciences. Physics (3) (2009) 34–46, in Russian.Королькова А.В., Кулябов Д.С., Черноиванов А.И. К вопросу о классификации алгоритмов RED // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. 2009. № 3. С. 34-46.A.V. Korolkova, D.S. Kulyabov, Mathematical Model of the Dynamic Behavior of RED-Like System Parameters, Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series “Mathematics. Information Sciences. Physics” (1) (2010) 54–64, in Russian.Королькова А.В., Кулябов Д.С. Математическая модель динамики поведения параметров систем типа RED // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. 2010. № 1. С. 54-64.T.R. Velieva, A.V. Korolkova, D.S. Kulyabov, B.A. Dos Santos, Model Queue Management on Routers, Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series “Mathematics. Information Sciences. Physics” 2 (2014) 81–92, in Russian.Модель управления очередями на маршрутизаторах / Т.Р. Велиева, А.В. Королькова, Д.С. Кулябов, Б.А. Сантуш // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. 2014. Т. 2. С. 81-92.T.R. Velieva, A.V. Korolkova, D.S. Kulyabov, Designing Installations for Verification of the Model of Active Queue Management Discipline RED in the GNS3, in: 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), IEEE Computer Society, 2015, pp. 570–577. arXiv:1504.02324, doi:10.1109/ICUMT.2014.7002164.Velieva T.R., Korolkova A.V., Kulyabov D.S. Designing Installations for Verification of the Model of Active Queue Management Discipline RED in the GNS3 // 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). IEEE Computer Society, 2015. Pp. 570-577.K.J. Aström, R.M. Murray, Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, Princeton University Press, 2008.Aström K.J., Murray R.M. Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers. Princeton University Press, 2008. 408 p.H. Nyquist, Regeneration Theory, Bell System Technical Journal 11 (1) (1932) 126– 147. doi:10.1002/j.1538-7305.1932.tb02344.x.Nyquist H. Regeneration Theory // Bell System Technical Journal. 1932. Vol. 11, No 1. Pp. 126-147.J. Hsu, A. Meyer, Modern Control Principles and Applications, McGraw-Hill, 1968.Сю Д.С., Мейер А.У. Современная теория автоматического управления и ее применение. Москва: Машиностроение, 1972. 552 с.A.A. Voronov, D.P. Kim, V.M. Lokhin, et al., Theory of Automatic Control: Textbook for High Schools on the Specialty “Automation and telemechanics”. In two parts. Part II. Theory of Nonlinear and Special Systems of Automatic Control, 2nd Edition, High School, Moscow, 1986, in Russian.Теория автоматического управления: Учеб. для вузов по спец. «Автоматика и телемеханика». В 2-х ч. Ч. II. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления / А.А. Воронов, Д.П. Ким, В.М. Лохин и др.; под ред. А.А. Воронова. 2-е изд., перераб. и доп. издание. М.: Высш. шк, 1986.E.J. Routh, A Treatise on the Stability of a Given State of Motion: Particularly Steady Motion, Macmillan, 1877.Routh E.J. A Treatise on the Stability of a Given State of Motion: Particularly Steady Motion. Macmillan, 1877.A. Hurwitz, Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt, Mathematische Annalen 46 (2) (1895) 273–284. doi:10.1007/BF01446812.Hurwitz A. Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt // Mathematische Annalen. 1895. Bd. 46, No. 2. Ss. 273-284.F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices, Chelsea Pub. Co., 1959.Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. 5-е издание. Москва: Физматлит, 2010.V.A. Besekerskiy, E. P. Popov, Theory of Automatic Control Systems, Nauka, Moscow, 1972, in Russian.Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. M.: Наука, 1972.N.A. Babakov, A.A. Voronov, A.A. Voronova, et al., Theory of Automatic Control: Textbook for High Schools on the Specialty “Automation and telemechanics”. In two parts. Part. I. Theory of Linear Systems of Automatic Control, 2nd Edition, High School, Moscow, 1986, in Russian.Теория автоматического управления: Учеб. для вузов по спец. «Автоматика и телемеханика». В 2-х ч. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов, А.А. Воронова и др.; под ред. А.А. Воронова. 2-е изд., перераб. и доп. издание. М.: Высш. шк, 1986.M. Allman, V. Paxson, E. Blanton, TCP Congestion Control, Tech. rep. (sep 2009). doi:10.17487/rfc5681.Allman M., Paxson V., Blanton E. TCP Congestion Control: Techrep. 2009.V. Kushwaha, R. Gupta, Congestion Control for High-Speed Wired Network: A Systematic Literature Review, Journal of Network and Computer Applications 45 (2014) 62–78. doi:10.1016/j.jnca.2014.07.005.Kushwaha V., Gupta R. Congestion Control for High-Speed Wired Network: A Systematic Literature Review // Journal of Network and Computer Applications. 2014. Vol. 45. Pp. 62-78.R. Adams, Active Queue Management: A Survey, IEEE Communications Surveys Tutorials 15 (3) (2013) 1425–1476. doi:10.1109/SURV.2012.082212.00018.Adams R. Active Queue Management: A Survey // IEEE Communications Surveys Tutorials. 2013. Vol. 15, No 3. Pp. 1425-1476.A. Jenkins, Self-Oscillation, Physics Reports 525 (2) (2013) 167–222. arXiv:1109.6640, doi:10.1016/j.physrep.2012.10.007.Jenkins A. Self-Oscillation // Physics Reports. 2013. Vol. 525, No 2. Pp. 167-222.F. Ren, C. Lin, B. Wei, A Nonlinear Control Theoretic Analysis to TCP-RED System, Computer Networks 49 (4) (2005) 580–592. doi:10.1016/j.comnet.2005.01.016.Ren F., Lin C., Wei B. A Nonlinear Control Theoretic Analysis to TCP-RED System // Computer Networks. 2005. Vol. 49, No 4. Pp. 580-592.W. Lautenschlaeger, A. Francini, Global Synchronization Protection for Bandwidth Sharing TCP Flows in High-Speed Links, in: Proc. 16-th International Conference on High Performance Switching and Routing, IEEE HPSR 2015, Budapest, Hungary, 2015. arXiv:1602.05333.Lautenschlaeger W., Francini A. Global Synchronization Protection for Bandwidth Sharing TCP Flows in High-Speed Links // Proc. 16-th International Conference on High Performance Switching and Routing, IEEE HPSR 2015. Budapest, Hungary: 2015.V. Misra, W.-B. Gong, D. Towsley, Stochastic Differential Equation Modeling and Analysis of TCP-Windowsize Behavior, Proceedings of PERFORMANCE 99.Misra V., Gong W.-B., Towsley D. Stochastic Differential Equation Modeling and Analysis of TCP-Windowsize Behavior // Proceedings of PERFORMANCE. 1999. Vol. 99.V. Misra, W.-B. Gong, D. Towsley, Fluid-Based Analysis of a Network of AQM Routers Supporting TCP Flows with an Application to RED, ACM SIGCOMM Computer Communication Review 30 (4) (2000) 151–160. doi:10.1145/347057.347421.Misra V., Gong W.-B., Towsley D. Fluid-Based Analysis of a Network of AQM Routers Supporting TCP Flows with an Application to RED // ACM SIGCOMM Computer Communication Review. 2000. Vol. 30, No 4. Pp. 151-160.C. V. V. Hollot, V. Misra, D. Towsley, Wei-Bo Gong, On Designing Improved Controllers for AQM Routers Supporting TCP Flows, in: Proceedings IEEE INFOCOM 2001. Conference on Computer Communications. Twentieth Annual Joint Conference of the IEEE Computer and Communications Society (Cat. No.01CH37213), Vol. 3, IEEE, 2001, pp. 1726–1734. doi:10.1109/INFCOM.2001.916670.On Designing Improved Controllers for AQM Routers Supporting TCP Flows / C.V.V. Hollot, V. Misra, D. Towsley, Wei-Bo Gong // Proceedings IEEE INFOCOM 2001. Conference on Computer Communications. Twentieth Annual Joint Conference of the IEEE Computer and Communications Society (Cat. No.01CH37213). Vol. 3. IEEE, 2001. Pp. 1726-1734.C.V.V. Hollot, V. Misra, D. Towsley, A Control Theoretic Analysis of RED, in: Proceedings IEEE INFOCOM 2001. Conference on Computer Communications. Twentieth Annual Joint Conference of the IEEE Computer and Communications Society (Cat. No.01CH37213), Vol. 3, IEEE, 2001, pp. 1510–1519. doi:10.1109/INFCOM.2001.916647.Hollot C.V.V., Misra V., Towsley D. A Control Theoretic Analysis of RED // Proceedings IEEE INFOCOM 2001. Conference on Computer Communications. Twentieth Annual Joint Conference of the IEEE Computer and Communications Society (Cat. No.01CH37213). Vol. 3, No 2. IEEE, 2001. Pp. 1510-1519.A.V. Korolkova, D.S. Kulyabov, L.A. Sevastianov, Combinatorial and Operator Approaches to RED Modeling, Mathematical Modelling and Geometry 3 (3) (2015) 1–18.Korolkova A.V., Kulyabov D.S., Sevastianov L.A. Combinatorial and Operator Approaches to RED Modeling // Mathematical Modelling and Geometry. 2015. Vol. 3, No 3. Pp. 1-18.A.V. Korolkova, T.R. Velieva, P.A. Abaev, L.A. Sevastianov, D.S. Kulyabov, Hybrid Simulation of Active Traffic Management, Proceedings 30th European Conference on Modelling and Simulation (2016) 685–691doi:10.7148/2016-0685.Hybrid Simulation Of Active Traffic Management / A.V. Korolkova, T.R. Velieva, A. Abaev, L.A. Sevastianov, D.S. Kulyabov // Proceedings 30th European Conference on Modelling and Simulation. 2016. Pp. 685-691.R. Brockett, Stochastic Analysis for Fluid Queueing Systems, in: Proceedings of the 38th IEEE Conference on Decision and Control (Cat. No.99CH36304), Vol. 3, IEEE, 1999, pp. 3077–3082. doi:10.1109/CDC.1999.831407.Brockett R. Stochastic Analysis for Fluid Queueing Systems // Proceedings of the 38th IEEE Conference on Decision and Control (Cat. No.99CH36304). Vol. 3. IEEE, 1999. Pp. 3077-3082.E. Altman, T. Jim´enez, NS Simulator for Beginners, Synthesis Lectures on Communication Networks 5 (1) (2012) 1–184. doi:10.2200/S00397ED1V01Y201112CNT010.Altman E., Jim´enez T. NS Simulator for Beginners // Synthesis Lectures on Communication Networks. 2012. Vol. 5, No 1. Pp. 1-184.T. Issariyakul, E. Hossain, Introduction to Network Simulator NS2, Vol. 9781461414, 2012. doi:10.1007/978-1-4614-1406-3.Issariyakul T., Hossain E. Introduction to Network Simulator NS2. 2012. Vol. 9781461414, 510 p.