Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)1579810.22363/2312-9735-2017-25-2-113-122MathematicsМатематикаResearch ArticleOn Application of M.N. Lagutinski Method to Integration of Differential Equations in Symbolic Form. Part 2О применении метода М.Н. Лагутинского к интегрированию дифференциальных уравнений 1-го порядка. Часть 2. Интегрирование в квадратурахMalykhM DМалыхМихаил ДмитриевичFaculty of Materials Sciences; Department of Applied Probability and Informatics Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University) 6 Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russian FederationФакультет наук о материалах; Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198malykhmd@yandex.ruLomonosov Moscow State UniversityМосковский государственный университет им. М.В. Ломоносова15122017252VOL 25, NO2 (2017)ТОМ 25, №2 (2017)11312214042017Copyright ©; 2017, Малых М.Д.2017Малых М.Д.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/15798The method of M.N. Lagutinski (1871-1915) allows to find rational integrals and Darboux polynomials for given differential ring and thus can be used for integration of ordinary differential equations in symbolic form. A realization of Lagutinski method was made under free opensource mathematics software system Sage and will be presented in this article with application for symbolic integration of 1st order differential equations. The second part is devoted to integration of given differential equation d + d with , Q[, ] in quadratures. According to the theorem of M. Singer the problem of integration in quadratures is equivalent to the finding of integrating factor of the form = exp d + d where , Q[, ]. The function can be found as a root of Darboux polynomial for some auxiliary differentiation of the ring Q[, , ]. By Lagutinski method we can find all Darboux polynomials for given differentiation of polynomial ring if degrees of required polynomials are less than given boundary and thus we can find integration factor of the form stated above. The theory and its realization in Sage are tested on numerous examples from standard for Russia text-book by A. F. Filippov.Метод М.Н. Лагутинского (1871-1915) позволяет искать рациональные интегралы и многочлены Дарбу заданного дифференциального кольца и поэтому может быть использован при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений в символьном виде. В настоящей статье представлена реализация метода Лагутинского, выполненная в свободной системой компьютерной алгебры Sage, и дан обзор её возможностей по интегрированию дифференциальных уравнений 1-го порядка в символьном виде. Вторая часть статьи посвящена интегрированию в квадратурах заданного дифференциального уравнения вида d + d , где , Q[, ]. Теорема М. Зингера сводит задачу об интегрировании дифференциального уравнения в квадратурах к отысканию интегрирующего множителя вида = exp d + d , где , Q[, ], отыскание функции можно свести к отысканию многочлена Дарбу для вспомогательного дифференцирования кольца Q[, , ]. Метод Лагутинского позволяет для заданного дифференцирования найти все многочлены Дарбу, порядок которых не превосходит некоторой заданной величины и поэтому позволяет находит интегрирующие множители, в показателях которых стоят рациональные функции, порядок которых не превосходит . Этот приём протестирован на примерах из задачника А.Ф. Филиппова.sagesagemathLagutinski methodintegration in quadraturessagesagemathметод Лагутинскогоинтегрирование в квадратурах1.Stein W.A. et al., 2015. Sage Mathematics Software (Version 6.7). The Sage Development Team. http://www.sagemath.org.2.Лагутинский М.Н. Приложение полярных операций к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений в конечном виде // Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер. 1911. Т. 12. С. 111-243.3.Лагутинский М.Н. О некоторых полиномах и связи их с алгебраическим интегрированием обыкновенных дифференциальных алгебраических уравнений // Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер. 1912. Т. 13. С. 200-224.4.Christopher C., Libre J., Vit´orio Pereira J. Multiplicity of Invariant Algebraic Curves in Polynomial Vector Fields // Pacific J. Math. 2007. Vol. 229, No 1. P. 63-117.5.Ch´eze G. Computation of Darboux Polynomials and Rational First Integrals with Bounded Degree in Polynomial Time // Journal of Complexity. 2011. Vol. 27, No 2. Pp. 246-262.6.Малых М.Д. Об отыскании рациональных интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнений по методу М.Н. Лагутинского // Вестник НИЯУ МИФИ. 2016. Т. 5, № 24. С. 327-336. Malykh M.D. On M.N. Lagutinski Method for Integration of Ordinary Differential Equations // International Conference “Polynomial Computer Algebra’2016”. 2016. Pp. 57-58.7.Малых М.Д. Об интегрировании дифференциальных уравнений // Компьютерная алгебра. Материалы международной конференции. 2016. С. 25-29.8.Малых М.Д. Об интегрировании дифференциальных уравнений первого порядка в конечном виде // Пятая международная конференция «Проблемы математической и теоретической физики и математическое моделирование». Сборник докладов. 2016. С. 81-82.9.Добровольский В.А., Стрельцын Ж., Локоть Н.В. Михаил Николаевич Лагутинский (1871-1915) // Историко-математические исследования. 2001. Т. 6. С. 111-127.10.Malykh M.D., 2016. Lagutinski.sage, ver. 1.5. RUDN University. - http://malykhmd.neocities.org.11.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: R&C, 2000.12.Гориэли А. Интегрируемость и сингулярность. М.-Ижевск: R & C, 2006.13.Zoladek H. Algebraic Invariant Curves for the Li´enard Equation // Trans. Am. Math. Soc. 1998. Vol. 350. Pp. 1681-1701.14.Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Москва: ИЛ, 1949. Т. 1.15.Мордухай-Болтовской Д.Д. Общие исследования, относящиеся к интегрированию в конечном виде дифференциальных уравнений первого порядка, статья I // Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер. 1907. Т. 10. С. 34-64.16.Мордухай-Болтовской Д.Д. Общие исследования, относящиеся к интегрированию в конечном виде дифференциальных уравнений первого порядка, статья II // Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер. 1907. Т. 10. С. 231-270.17.Prelle M.J., Singer M.F. Elementary First Integrals of Differential Equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 279. P. 215-229.18.Borwein J.M., Crandall R.E. Closed Forms: What They Are and Why We Care // Notices of the AMS. 2013. Vol. 60. Pp. 50-65.19.Singer M.F. Liouvillian First Integrals of Differential Equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1992. Vol. 333. P. 673-688.20.Junzhi Lei. Nonlinear Differential Galois Theory. Arxiv:0608492v2. 2011.21.Determining Liouvillian First Integrals for Dynamical Systems in the Plane / J. Avellar, L.G.S. Duarte, S.E.S. Duarte, L.A.C.P. da Mota // Computer Physics Communications. 2007. Vol. 177. P. 584-596.22.Avellar J., Duarte L., Duarte S., da Mota L. Lsolver (Version 2.0). 2013. http://cpc.cs.qub.ac.uk.