Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)1579710.22363/2312-9735-2017-25-2-103-112MathematicsМатематикаResearch ArticleOn Application of M.N. Lagutinski Method to Integration of Differential Equations in Symbolic Form. Part 1О применении метода М.Н. Лагутинского к интегрированию дифференциальных уравнений 1-го порядка. Часть 1. Отыскание алгебраических интеграловMalykhM DМалыхМалых ДмитриевичFaculty of Materials Sciences; Department of Applied Probability and Informatics Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University) 6 Miklukho-Maklaya St., Moscow, 117198, Russian FederationФакультет наук о материалах; Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198malykhmd@yandex.ruLomonosov Moscow State UniversityМосковский государственный университет им. М.В. Ломоносова15122017252VOL 25, NO2 (2017)ТОМ 25, №2 (2017)10311214042017Copyright ©; 2017, Малых М.Д.2017Малых М.Д.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/15797The method of M.N. Lagutinski (1871-1915) allows to find rational integrals and Darboux polynomials for given differential ring and thus can be used for integration of ordinary differential equations in symbolic form. A realization of Lagutinski method was made under free opensource mathematics software system Sage and will be presented in this article with application for symbolic integration of 1st order differential equations. In the first part of the article basic concepts of the Lagutinski method is briefly stated for polynomials rings. Then this method is applied to search of algebraic integrated curves for given ordinary differential equations of the form d + d with , Q[, ]. It is shown how the Lagutinski method allows to look for curves of the given order or to prove that there are not such curves. In particular questions about the optimization of computations and integration in micronomials are considered. The theory and its realization in Sage are tested on numerous examples from standard for Russia text-book by A.F. Filippov. Some recommendations for optimization of the Lagutinski method usage are made in the conclusion of the article.Метод М.Н. Лагутинского (1871-1915) позволяет искать рациональные интегралы и многочлены Дарбу заданного дифференциального кольца и поэтому может быть использован при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений в символьном виде. В настоящей статье представлена реализация метода Лагутинского, выполненная в свободной системой компьютерной алгебры Sage, и дан обзор её возможностей по интегрированию дифференциальных уравнений 1-го порядка в символьном виде. В первой части статьи кратко изложены основные понятия метода Лагутинского для полиномиальных колец, затем этот метод приложен к отысканию алгебраических интегральных кривых дифференциальных уравнений вида d + d , где , Q[, ]. Показано, как метод Лагутинского позволяет искать кривые заданного порядка или убеждаться в несуществовании таковых. Особо рассмотрены вопросы об ускорении вычислений и отыскании интегралов среди малочленов. Теория и её реализация протестированы на примерах из задачника А.Ф. Филиппова. В заключении даны рекомендации по оптимальному использованию метода Лагутинского.sagesagemathLagutinski methodalgebraic integral curvessagesagemathметод Лагутинскогоинтегральные алгебраические кривые1.Stein W.A. et al., 2015. Sage Mathematics Software (Version 6.7). The Sage Development Team. http://www.sagemath.org.2.Лагутинский М.Н. Приложение полярных операций к интегрировананию обыкновенных дифференциальных уравнений в конечном виде // Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер. 1911. Т. 12. С. 111-243.3.Лагутинский М.Н. О некоторых полиномах и связи их с алгебраическим интегрированием обыкновенных дифференциальньных алгебраических уравнений // Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер. 1912. Т. 13. С. 200-224.4.Christopher C., Libre J., Vit´orio Pereira J. Multiplicity of Invariant Algebraic Curves in Polynomial Vector Fields // Pacific J. Math. 2007. Vol. 229, No 1. P. 63-117.5.Ch´eze G. Computation of Darboux Polynomials and Rational First Integrals with Bounded Degree in Polynomial Time // Journal of Complexity. 2011. Vol. 27, No 2. Pp. 246-262.6.Малых М.Д. Об отыскании рациональных интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнений по методу М.Н. Лагутинского // Вестник НИЯУ МИФИ. 2016. Т. 5, № 24. С. 327-336.7.Malykh M.D., 2016. Lagutinski.sage, ver. 1.5. RUDN University. http://malykhmd.neocities.org.8.Malykh M.D. On M.N. Lagutinski Method for Integration of Ordinary Differential Equations // International Conference “Polynomial Computer Algebra’2016”. 2016. Pp. 57-58.9.Малых М.Д. Об интегрировании дифференциальных уравнений // Компьютерная алгебра. Материалы международной конференции. 2016. С. 25-29.10.Малых М.Д. Об интегрировании дифференциальных уравнений первого порядка в конечном виде // Пятая международная конференция «Проблемы математической и теоретической физики и математическое моделирование». Сборник докладов. 2016. С. 81-82.11.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: R&C, 2000.12.Добровольский В.А., Стрельцын Ж., Локоть Н.В. Михаил Николаевич Лагутинский (1871-1915) // Историко-математические исследования. 2001. Т. 6. С. 111-127.13.Декарт Р. Геометрия с приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта. Москва-Ленинград: ГОНТИ НКТП СССР, 1938.14.Efficient Algorithms for Computing Rational First Integrals and Darboux Polynomials of Planar Polynomial Vector Fields / A. Bostan, G. Cheze, T. Cluzeau, J.-A. Weil // Math. Comp. 2016. Т. 85. С. 1393-1425.15.Poincar´e H. Œuvres. Paris: Gautier, 1934. Vol. 3.