Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)1516510.22363/2312-9735-2017-25-1-81-90Modeling and SimulationМатематическое моделированиеResearch ArticleGeometrization of Maxwell's Equations in the Construction of Optical DevicesИспользование геометризации уравнений Максвелла при расчёте оптических приборовKulyabovD SКулябовДмитрий СергеевичDepartment of Applied Probability and Informatics; Laboratory of Information Technologies Joint Institute for Nuclear Research 6 Joliot-Curie, Dubna, Moscow region, Russia, 141980Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей; Лаборатория информационных технологий Объединённый институт ядерных исследований ул. Жолио-Кюри, д. 6, Дубна, Московская область, Россия, 141980ds@sci.pfu.edu.ruRUDN University (Peoples’ Friendship University of Russia)Российский университет дружбы народов15122017251ТОМ 25, №1 (2017)819008022017Copyright ©; 2017, Кулябов Д.С.2017Кулябов Д.С.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/15165The development of physics in the XX-th century was closely linked to the development of the mathematical apparatus. The General Relativity demonstrated the power of the geometric approach. Unfortunately, the infiltration of this apparatus in other domains of physics is rather slow. For example, there were some attempts of integration of the geometric methods in electrodynamics, but until recently they remained only as a theoretical exercise. Interest to the geometric methods in electrodynamics is summoned by practical necessity. The following algorithm of designing of the electromagnetic device is possible. We construct the estimated trajectories of propagation of electromagnetic waves. Then we calculate the parameters of the medium along these trajectories. The inverse problem is also interesting. The paper considers the techniques of construction of optical devices based on the method of geometrization of Maxwell’s equations. The method is based on representation of material equations in the form of an effective space-time geometry. Thus we get a problem similar to that of some bimetric theory of gravity. That allows to use a well-developed apparatus of differential geometry. On this basis, we can examine the propagation of the electromagnetic field on the given parameters of the medium. It is also possible to find the parameters of the medium by a given law of propagation of electromagnetic fields.Развитие физики в XX-м веке было тесно связано с развитием математического аппарата. Общая теория относительности продемонстрировала силу геометрического подхода. К сожалению проникновение этого аппарата в другие области физики происходит достаточно медленно. Например, было несколько попыток внедрения геометрических методов в электродинамику, однако до последнего времени они оставались лишь теоретическими упражнениями. Интерес к геометрическим методам в электродинамике вызван практической необходимостью. Представляется заманчивым следующий алгоритм конструирования электромагнитного прибора. Строятся предполагаемые траектории распространения электромагнитных волн. Затем по этим траекториям вычисляются параметры среды. Также представляет интерес и обратная задача. В работе рассматривается методика расчёта оптических приборов на основе метода геометризации уравнений Максвелла. В основе метода лежит представление материальных уравнений Максвелла в виде эффективной геометрии пространства-времени. Таким образом мы получаем задачу, сходную с некой биметрической теорией гравитации, что позволяет применять хорошо разработанный аппарат дифференциальной геометрии. На основании этого мы можем как исследовать распространение электромагнитного поля по заданным параметрам среды, так и находить параметры среды по заданному закону распространения электромагнитного поля.Maxwell’s equationsconstitutive equationsMaxwell’s equations geometrizationRiemann geometrycurvilinear coordinatesуравнения Максвелламатериальные уравнения Максвеллагеометризация уравнений Максвеллариманова геометриякриволинейные координаты1.Тамм И. Е. Электродинамика анизотропной среды в специальной теории относительности // Журнал Русского физико-химического общества. Часть физическая. - 1924. - Т. 56, № 2-3. - С. 248-262.2.Тамм И. Е. Кристаллооптика теории относительности в связи с геометрией биквадратичной формы // Журнал Русского физико-химического общества. Часть физическая. - 1925. - Т. 57, № 3-4. - С. 209-240.3.Tamm I. E., Mandelstam L. I. Elektrodynamik der anisotropen Medien in der speziellen Relativitatstheorie // Mathematische Annalen. - 1925. - Bd. 95, No. 1. - Ss. 154-160.4.Plebanski J. Electromagnetic Waves in Gravitational Fields // Physical Review. - 1960. - Vol. 118, No 5. - Pp. 1396-1408.5.Felice F. On the Gravitational Field Acting as an Optical Medium // General Relativity and Gravitation. - 1971. - Vol. 2, No 4. - Pp. 347-357.6.Leonhardt U., Philbin T. G., Haugh N. General Relativity in Electrical Engineering. - 2008. - Pp. 1-19.7.Leonhardt U., Philbin T. G. Transformation optics and the geometry of light // Progress in Optics. - 2009. - Vol. 53. - Pp. 69-152.8.Thompson R. T., Cummer S. A., Frauendiener J. A Completely Covariant Approach to Transformation Optics // Journal of Optics. - 2011. - Vol. 13, No 2. - P. 024008.9.Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля. - М.: Мир, 1987. - Т. 1.10.Сивухин Д. В. О Международной системе физических величин // Успехи физических наук. - 1979. - Т. 129, № 10. - С. 335-338.11.Kulyabov D. S., Korolkova A. V., Korolkov V. I. Maxwell’s Equations in Arbitrary Coordinate System // Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series “Mathematics. Information Sciences. Physics”. - 2012. - No 1. - Pp. 96-106.12.Korol’kova A. V., Kulyabov D. S., Sevast’yanov L. A. Tensor Computations in Computer Algebra Systems // Programming and Computer Software. - 2013. - Vol. 39, No 3. - Pp. 135-142.13.Kulyabov D. S. Geometrization of Electromagnetic Waves // Mathematical Modeling and Computational Physics. - Dubna: JINR, 2013. - P. 120.14.Кулябов Д. С., Королькова А. В. Уравнения Максвелла в произвольной системе координат // Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика. - 2013. - № 1 (28). - С. 29-44.15.Кулябов Д. С., Немчанинова Н. А. Уравнения Максвелла в криволинейных координатах // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». - 2011. - № 2. - С. 172-179.16.Minkowski H. Die Grundlagen fu¨r die electromagnetischen Vorg¨onge in bewegten K¨orpern // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu G¨ottingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. - 1908. - Ss. 53-111.17.Стрэттон Д. А. Теория электромагнетизма. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.18.Терлецкий Я. П., Рыбаков Ю. П. Электродинамика. - Москва: Высшая школа, 1990. - С. 352.19.Post E. The Constitutive Map and Some of its Ramifications // Annals of Physics. - 1972. - Vol. 71, No 2. - Pp. 497-518.20.Gilkey P. B. Algebraic Curvature Tensors // Geometric Properties of Natural Operators Defined by the Riemann Curvature Tensor. - World Scientific Publishing Company, 2001. - Pp. 1-91.21.Obukhov Y. N., Hehl F. W. Possible Skewon Effects on Light Propagation // Physical Review D - Particles, Fields, Gravitation and Cosmology. - 2004. - Vol. 70, No 12. - Pp. 1-14.22.Hehl F. W., Obukhov Y. N. Linear Media in Classical Electrodynamics and the Post Constraint // Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics. - 2005. - Vol. 334, No 4. - Pp. 249-259.23.Leonhardt U. Optical Conformal Mapping // Science. - 2006. - Vol. 312. - Pp. 1777-1780.24.Pendry J. B., Schurig D., Smith D. R. Controlling Electromagnetic Fields // Science. - 2006. - Vol. 312, No 5781. - Pp. 1780-1782.25.Nicolet A., Zolla F., Geuzaine C. Transformation optics, generalized cloaking and superlenses // IEEE Transactions on Magnetics. - 2010. - Vol. 46, No 8. - Pp. 2975- 2981.26.Schurig D., Pendry J. B., Smith D. R. Calculation of Material Properties and Ray Tracing in Transformation Media // Optics express. - 2006. - Vol. 14, No 21. - Pp. 9794-9804.27.Зоммерфельд А. Электродинамика. - Москва: Издательство иностранной литературы, 1958.