Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)1516210.22363/2312-9735-2017-25-1-36-55Modeling and SimulationМатематическое моделированиеResearch ArticleAlgorithms for Solving the Parametric Self-Adjoint 2D Elliptic Boundary-Value Problem Using High-Accuracy Finite Element MethodАлгоритмы для решения параметрической самосопряжённой эллиптической краевой задачи в двумерной области методом конечных элементов высокого порядка точностиGusevA AГусевАлександр Александровичgooseff@jinr.ruChuluunbaatarOЧулуунбаатарОчбадрахInstitute of Mathematics, National University of Mongolia, Ulaanbaatar, MongoliaИнститут математики Монгольский национальный университет, Улан-Батор, Монголияchuka@jinr.ruVinitskyS IВиницкийСергей ИльичRUDN University (Peoples’ Friendship University of Russia) 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, Russia, 117198Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198vinitsky@theor.jinr.ruDerbovV LДербовВладимир Леонардовичderbov@sgu.ruGóźdźAГужджАндржейИнститут физикиandrzej.gozdz@umcs.plJoint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследованийSaratov State UniversityСаратовский государственный университетInstitute of Physics, University of M. Curie-Skl-odowskaУниверситет им. М. Кюри-Склодовска15122017251ТОМ 25, №1 (2017)365508022017Copyright ©; 2017, Гусев А.А., Чулуунбаатар О., Виницкий С.И., Дербов В.Л., Гуждж А.2017Гусев А.А., Чулуунбаатар О., Виницкий С.И., Дербов В.Л., Гуждж А.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/15162We consider the calculation schemes for solving elliptic boundary-value problems (BVPs) within the framework of the Kantorovich method that provides the reduction of an elliptic BVP to a system of coupled second-order ordinary differential equations (ODEs). The surface basis functions of the expansion depend on the independent variable of the ODEs parametrically. Here we use the basis functions calculated by means of the finite element method(FEM), as well as the probe parametric surface basis functions calculated in the analytical form. We propose new calculation schemes and algorithms for solving the parametric self-adjoint elliptic boundary-value problem (BVP) in a 2D finite domain, using high-accuracy finite element method (FEM) with rectangular and triangular elements. The algorithm and the programs calculate with the given accuracy the eigenvalues, the surface eigenfunctions and their first derivatives with respect to the parameter of the BVP for parametric self-adjoint elliptic differential equation with the Dirichlet and/or Neumann type boundary conditions on the 2D finite domain, and the potential matrix elements, expressed as integrals of the products of surface eigenfunctions and/or their first derivatives with respect to the parameter. The parametric eigenvalues (potential curves) and the potential matrix elements computed by the program can be used for solving bound-state and multi-channel scattering problems for systems of coupled second-order ODEs by means of the Kantorovich method. We demonstrate the efficiency of the proposed calculation schemes and algorithms in benchmark calculations of 2D elliptic BVPs describing quadrupole vibrations of a collective nuclear model.Рассмотрены вычислительные схемы решения краевых эллиптических задач в рамках метода Канторовича - редукции эллиптической краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с использованием поверхностных функций, зависящих от независимой переменной системы обыкновенных дифференциальных уравнений как параметра, вычисленные как методом конечных элементов, так и пробных параметрических поверхностных базисных функций, вычисленных в аналитической виде. Предложены новые вычислительные схемы и алгоритмы для решения параметрической самосопряжённой эллиптической краевой задачи в двумерной области, используя метод конечных элементов высокого порядка точности с прямоугольными и треугольными элементами. Комплексы программ, реализующие алгоритмы, вычисляют с заданной точностью собственные значения, собственные функции и их первые производные по параметру, связанные с параметрической самосопряжённой краевой задачей для эллиптических дифференциальных уравнений с условиями Дирихле или Неймана на границе в конечной двумерной области, а также потенциальные матричные элементы - интегралы от произведения собственных функций и их первых производных по параметру. Параметрические собственные значения (так называемые потенциальные кривые) и матричные элементы, вычисленные с помощью комплекса программ, можно применять для решения задачи на связанные состояния и многоканальной задачи рассеяния для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с помощью метода Канторовича. Эффективность предложенных схем расчёта и алгоритмов демонстрируется решением двумерных эллиптических краевых задач, описывающих квадрупольные колебания в коллективной модели атомного ядра.parametric elliptic boundary-value problemfinite element methodKantorovich methodsystems of second-order ordinary differential equationsпараметрические эллиптические краевые задачиметод конечных элементовметод Канторовичасистемы ОДУ второго порядка1.Виницкий С. И., Пономарев Л. И. Адиабатическое представление в задаче трех тел с кулоновским взаимодействием // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1982. - Т. 13. - С. 1336-1418.2.Parker G. A., Pack R. T. Quantum Reactive Scattering in Three Dimensions Using Hyperspherical (APH) Coordinates., VI. Analytic Basis Method for Surface Functions // Journal of Chemical Physics. - 1993. - Vol. 98. - Pp. 6883-6896.3.Numerical Solution of Elliptic Boundary-Value Problems for Schro¨dinger-Type Equations Using the Kantorovich Method / A. A. Gusev, O. Chuluunbaatar, S. I. Vinitsky, A. G. Abrashkevich, V. L. Derbov // Mathematical Modelling and Geometry. - 2014. - Vol. 2. - Pp. 54-80.4.Dobrowolski A., Mazurek K., G´o´zd´z A. Consistent Quadrupole-Octupole Collective Model // Physical Review C. - 2017. - Vol. 94. - P. 054322.5.KANTBP 2.0: New Version of a Program for Computing Energy Levels, Reaction Matrix and Radial Wave Functions in the Coupled-Channel Hyperspherical Adiabatic Approach / O. Chuluunbaatar, A. A. Gusev, S. I. Vinitsky, A. G. Abrashkevich // Computer Physics Communications. - 2008. - Vol. 179. - Pp. 685-693.6.ODPEVP: A Program for Computing Eigenvalues and Eigenfunctions and Their First Derivatives with Respect to the Parameter of the Parametric Self-Adjoined Sturm-Liouville Problem / O. Chuluunbaatar, A. A. Gusev, S. I. Vinitsky, G. Abrashkevich // Computer Physics Communications. - 2009. - Vol. 180. - Pp. 1358-1375.7.POTHEA: A Program for Computing Eigenvalues and Eigenfunctions and Their First Derivatives with Respect to the Parameter of the Parametric Self-Adjoined 2D Elliptic Partial Differential Equation / A. A. Gusev, O. Chuluunbaatar, S. I. Vinitsky, G. Abrashkevich // Computer Physics Communications. - 2014. - Vol. 185. - Pp. 2636-2654.8.Kumar K., Baranger M. Complete Numerical Solution of Bohr’s Collective Hamiltonian // Nuclear Physics A. - 1967. - Vol. 392. - Pp. 608-652.9.Tetrahedral Symmetry in Nuclei: New Predictions Based on the Collective Model / Dobrowolski, A. G´o´zd´z, K. Mazurek, J. Dudek // International Journal of Modern Physics E. - 2011. - Vol. 20. - Pp. 500-506.10.Стренг Г., Фикс Г. Теория метода конечных элементов. - Москва: Мир, 1977.11.Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - Москва: Стройиздат, 1982.12.Becker E. B., Carey G. F., Tinsley Oden J. Finite Elements. An Introduction. Vol. I. - New Jersey: Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1981.13.Chuluunbaatar O. The Scientific Doctoral Thesis. - 2010.14.Pockels F. U¨ ber die partielle differential-gleichung ∆u + k2u = 0 und deren auftreten in der mathematischen physik. - Leipzig: B. G. Teubner, 1891.15.Berry M. V., Wilkinson M. Diabolical Points in the Spectra of Triangles // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical & Engineering Sciences. - 1984. - Vol. 392. - Pp. 15-43.16.Решение краевых задач для систем ОДУ большой размерности: эталонные расчеты в рамках метода Канторовича / А. А. Гусев, О. Чулуунбаатар, С. И. Виницкий, В. Л. Дербов // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. - 2016. - Т. 3. - С. 31-37.17.Cornwell J. F. Group Theory in Physics. - New York: Academic Press, 1984.18.A MAPLE Symbolic-Numeric Program for Solving the 2D-Eigenvalue Problem by a Self-Consistent Basis Method / I. N. Belyaeva, N. A. Chekanov, A. A. Gusev, V. A. Rostovtsev, Yu. A. Ukolov, Y. Uwano, S. I. Vinitsky // Lecture Notes in Computer Science. - 2005. - Vol. 3718. - Pp. 32-39.19.Eisenberg J. M., Greiner W. Nuclear Theory. Vol. 1. - Amsterdam: North-Holland, 1970.