Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)1516110.22363/2312-9735-2017-25-1-19-35Modeling and SimulationМатематическое моделированиеResearch ArticlePropagation of Nonlinear Waves in Coaxial Physically Nonlinear Cylindrical Shells Filled with a Viscous FluidРаспространение нелинейных волн в соосных физически нелинейных цилиндрических оболочках, заполненных вязкой жидкостьюBlinkovY AБлинковЮрий Анатольевичblinkovua@info.sgu.ruMesyanzhinA VМесянжинАртём Вячеславовичa.v.mesyanzhin@gmail.comMogilevichL IМогилевичЛев Ильичmogilevich@sgu.ruSaratov State UniversityСаратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. ЧернышевскогоIndustrial Automatics Design Bureau JSCОАО «Конструкторское бюро промышленной автоматики»Yuri Gagarin State Technical University of SaratovСаратовский государственный технический университет им. Ю. А. Гагарина15122017251ТОМ 25, №1 (2017)193508022017Copyright ©; 2017, Блинков Ю.А., Месянжин А.В., Могилевич Л.И.2017Блинков Ю.А., Месянжин А.В., Могилевич Л.И.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/15161Investigation of deformation waves behavior in elastic shells is one of the important trends in contemporary wave dynamics. There exist mathematical models of wave motions in infinitely long geometrically non-linear shells, containing viscous incompressible liquid, based on the related hydroelasticity problems, which are derived by the shells dynamics and viscous incompressible liquid equations in the form of generalized KdV equations. Also, mathematical models of the wave process in infinitely long geometrically non-linear coaxial cylindrical elastic shells are obtained by means of disturbances method. These models differ from the known ones by the consideration of incompressible liquid presence between the shells, based on the related hydroelasticity problems. These problems are described by shells dynamics and viscous incompressible liquid equations with corresponding edge conditions in the form of generalized KdV equations system. The paper presents the investigation of wave occurrences of two geometrically non-linear elastic coaxial cylindrical shells model of Kirchhoff-Love type, containing viscous incompressible liquid between them, as well as inside. The difference schemes of Crank-Nicholson type are obtained for the considered equations system by taking into account liquid impact and with the help of Gro¨bner bases construction. To generate these difference schemes, the basic integral difference correlations, approximating initial equations system, were used. The usage of Gro¨bner bases technology provides generating the schemes, for which it becomes possible to obtain discrete analogs of the laws of preserving initial equations system. To do this, equivalent transformations were made. On the basis of computation algorithm the complex of programs, permitting to construct graphs and obtain numerical solutions under exact solutions of coaxial shell dynamics equations system, was made.В современной волновой динамике известны математические модели волновых движений в бесконечно длинных геометрически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость. Они получены на базе связанных задач гидроупругости, описываемых уравнениями динамики оболочек и вязкой несжимаемой жидкости, в виде обобщённых уравнений Кортевега де Вриза (КдВ). Также методом возмущений по малому параметру задачи получены математические модели волнового процесса в бесконечно длинных геометрически нелинейных соосных цилиндрических упругих оболочках, отличающиеся от известных учётом наличия несжимаемой вязкой жидкости между оболочками. На основе связанных задач гидроупругости, которые описываются уравнениями динамики оболочек и несжимаемой вязкой жидкости с соответствующими краевыми условиями, получены системы обобщённых уравнений КдВ. В представленной работе проведено исследование модели волновых явлений двух физически нелинейных упругих соосных цилиндрических оболочек типа Кирхгофа-Лява, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, как между ними, так и внутри. Для рассмотренных систем уравнений с учётом влияния жидкости с помощью построения базиса Грёбнера получены разностные схемы типа Кранка-Николсона. Для генерации этих разностных схем использованы базовые интегральные разностные соотношения, которые аппроксимируют исходную систему уравнений. Применение техники базисов Грёбнера позволяет генерировать схемы, для которых с помощью эквивалентных преобразований можно получить дискретные аналоги законов сохранения исходных дифференциальных уравнений. На основе разработанного вычислительного алгоритма создан комплекс программ, позволяющий построить графики и получить численные решения задач Коши при точных решениях системы уравнений динамики соосных оболочек в качестве начального условия.nonlinear wavesviscous incompressible liquidelastic cylinder shellнелинейные волнывязкая несжимаемая жидкостьцилиндрические упругие оболочки1.Громека И. С. К теории движения жидкости в узких цилиндрических трубах // Собр.соч. - М.: Изд-во АН СССР, 1952. - С. 149-171.2.Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 1995. - Т. 3, № 1. - С. 52-58.3.Ерофеев В. И., Клюева Н. Солитоны и нелинейные периодические волны деформации в стержнях, пластинах и оболочках (обзор) // Акустический журнал. - 2002. - Т. 48, № 6. - С. 725-740.4.Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в неоднородных цилиндрических оболочках: новое эволюционное уравнение // РАН. Акустический журнал. - 2001. - Т. 47, № 3. - С. 359-363.5.Аршинов Г. А., Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Двумерные уединенные волны в нелинейной вязкоупругой деформируемой среде // РАН Акустический журнал. - 2000. - Т. 46, № 1. - С. 116-117.6.Блинкова А. Ю., Блинков Ю. А., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую жидкость между ними, с учетом рассеяния энергии // Вычислительная механика сплошных сред. - 2013. - Т. 6, № 3. - С. 336-345. - ISSN 1999-6691.7.Формирование солитонов деформации в континууме Коссера со стеснённым вращением / В. И. Ерофеев, А. И. Землянухин, В. М. Катсон, С. Ф. Шешенин // Вычислительная механика сплошных сред. - 2009. - Т. 2, № 4. - С. 67-75.8.Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, А. Д. Ковалев, Л. И. Могилевич // Известия Саратовского университета. Новая серия. Физика. - 2012. - Т. 12, № 2. - С. 12-18.9.Нелинейные волны деформаций в геометрически и физически нелинейной вязкоупругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкуюнесжимаемую жидкость и окруженной упругой средой / А. Ю. Блинкова, Ю. А. Блинков, С. В. Иванов, Л. И. Могилевич // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2015. - Т. 15, № 2. - С. 193-202.10.Блинков Ю. А., Ковалева И. А., Могилевич Л. И. Моделирование динамики нелинейных волн в соосных геометрически и физически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость между ними // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. - 2013. - Т. 3. - С. 42-51.11.Блинков Ю. А., Месянжин А. В., Могилевич Л. И. Математическое моделирование волновых явлений в двух геометрически нелинейных упругих соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2016. - Т. 16, № 2. - С. 184-197.12.Каудерер Г. Нелинейная механика. - М.: Иностранная литература, 1961.13.Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. - М.: Дрофа, 2003.14.Валландер С. В. Лекции по гидроаэромеханике. - Л.: ЛГУ, 1978. - С. 296.15.Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М.: Наука, 1972. - С. 432.16.Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. - М.: Наука, 1979. - С. 320.17.Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - С. 712.18.Попов И. Ю., Чивилихин С. А., Гусаров В. В. Динамика скручивающихся нанотрубок в вязкой жидкости // Доклады РАН. - 2007. - Т. 412, № 2. - С. 201-203.19.Солитон в стенке нанотрубки и стоксово течение в ней / И. Ю. Попов, О. А. Родыгина, С. А. Чивилихин, В. В. Гусаров // Письма в ЖТФ. - 2010. - Т. 36, № 18. - С. 48-54.20.Блинков Ю. А., Гердт В. П. Специализированная система компьютерной алгебры GINV // Программирование. - 2008. - Т. 34, № 2. - С. 67-80.21.Gerdt V. P., Blinkov Y. A. Involution and Difference Schemes for the Navier-Stokes Equations // CASC: 11th International Workshop, Kobe, Japan, Sept. 13-17, 2009. Proceedings / Ed. by V. P. Gerdt, E. W. Mayr, E. V. Vorozhtsov. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2009. - Pp. 94-105.22.On Consistency of Finite Difference Approximations to the Navier-Stokes Equations / P. Amodio, Y. Blinkov, V. Gerdt, R. La Scala // Computer Algebra in Scientific Computing: 15th International Workshop, CASC 2013, Berlin, Germany, September 9-13, 2013. Proceedings / Ed. by V. P. Gerdt, W. Koepf, E. W. Mayr, E. V. Vorozhtsov. - Springer International Publishing, 2013. - Pp. 46-60.