Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)14561ArticlesСтатьиResearch ArticleAlgorithms for Solving the Boundary-Value Problems for Atomic Trimers in Collinear Configuration using the Kantorovich MethodАлгоритмы решения краевых задач для атомных тримеров в коллинеарной конфигурации методом КанторовичаGusevA AГусевАлександр Александровичgooseff@jinr.ruChuluunbaatarOchbadrahЧулуунбаатарОчбадрахInstitute of Mathematics, National University of Mongolia, Ulan-Bator, MongoliaИнститут математики, Монгольский государственный университет, Улан-Батор, Монголияchuka@jinr.ruVinitskyS IВиницкийСергей ИльичRUDN University (Peoples’ Friendship University of Russia), Moscow, RussiaРоссийский университет дружбы народов, Москва, Россияvinitsky@theor.jinr.ruDerbovV LДербовВладимир Леонардовичderbov@sgu.ruJoint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследованийSaratov State UniversityСаратовский государственный университет151220164NO4 (2016)№4 (2016)567614122016Copyright ©; 2016, Гусев А.А., Чулуунбаатар О., Виницкий С.И., Дербов В.Л.2016Гусев А.А., Чулуунбаатар О., Виницкий С.И., Дербов В.Л.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/14561The model of atomic trimers with molecular pair interactions for collinear configuration is formulated as a 2D boundary-value problem (BVP) in the Jacobi and polar coordinates. The latter is reduced to a 1D BVP for a system of second-order ordinary differential equations (ODEs) by means of the Kantorovich method using the expansion of the desired solutions over a set of angular basis functions, parametrically dependent on the (hyper)radial variable. The algorithms for solving the 1D parametric BVP by means of the finite element method (FEM) and calculating the asymptotes of the parametric angular functions and effective potentials of the system of ODEs at large values of the parameter are presented. The efficiency of the algorithms is confirmed by comparing the calculated asymptotic solutions and effective potentials with those of the parametric eigenvalue problem obtained by applying the FEM at large values of the parameter. The applicability of the algorithms is demonstrated by calculating the asymptotic expansions of the parametric BVP solution, effective potentials and sets of binding energies for the beryllium trimer in the collinear configuration.Модель атомных тримеров с парными молекулярными взаимодействиями в коллинеарной конфигурации формулируется в виде двумерной краевой задачи в якобиевских полярных координатах. Последняя сводится методом Канторовича к одномерной краевой задаче для системы ОДУ второго порядка, используя разложение искомого решения по угловым базисным функциям, зависящим от гиперрадиуса, как от параметра. Представлены алгоритмы решения параметрической краевой задачи методом конечных элементов и вычисления асимптотических разложений параметрических угловых базисных функций и эффективных потенциалов системы ОДУ при больших значениях параметра. Эффективность алгоритмов подтверждается сравнением асимптотических решений параметрической задачи на собственные значения и эффективных потенциалов с их численными значениями, полученных методом конечных элементов при больших значениях параметра. Применимость алгоритмов демонстрируются на примере расчетов асимптотических разложений решений параметрической краевой задачи и эффективных потенциалов, и собственных значений энергии связи тримера бериллия в коллинеарной конфигурации.boundary-value problemsthe Kantorovich method systems of second-order ordinary differential equationsfinite element methodкраевые задачиметод Канторовичасистемы ОДУ второго порядкаметод конечных элементов1.Efimov V. Few-Body Physics: Giant Trimers True to Scale // Nature Phys. 2009. Vol. 5. Pp. 533-534.2.Observation of an Efimov Spectrum in an Atomic System / M. Zaccanti, B. Deissler, C. D’Errico, M. Fattori, Jona-Lasinio, S. M. Muller, G. Roati, M. Inguscio, M. G. // Nature Phys. 2009. Vol. 5. Pp. 586-591.3.Voigtsberger J. et al. Imaging the Structure of the Trimer Systems 4He3 and 3He4He2 // Nature Commun. 2014. Vol. 5. P. 5765.4.ODPEVP: A Program for Computing Eigenvalues and Eigenfunctions and Their First Derivatives with Respect to the Parameter of the Parametric Self-Adjoined Sturm- Liouville Problem / O. Chuluunbaatar, A.A. Gusev, S.I. Vinitsky, A.G. Abrashkevich // Computer Physics Communications. 2009. Vol. 180. Pp. 1358-1375.5.POTHEA: A Program for Computing Eigenvalues and Eigenfunctions and Their First Derivatives with Respect to the Parameter of the Parametric Self-Adjoined 2D Elliptic Partial Differential Equation / A.A. Gusev, O. Chuluunbaatar, S.I. Vinitsky, G. Abrashkevich // Comput. Phys. Commun. 2014. Vol. 185. Pp. 2636- 2654.6.Описание программы вычисления собственных значений и собственных функций и их первых производных по параметру для параметрической самосопряжённой системы эллиптических дифференциальных уравнений / А.А. Гусев, О. Чулуунбаатар, С.И. Виницкий, А.Г. Абрашкевич // Вестник РУДН, серия «Математика. Информатика. Физика». 2014. № 2. С. 336-341.7.KANTBP: A Program for Computing Energy Levels, Reaction Matrix and Radial Wave Functions in the Coupled-Channel Hyperspherical Adiabatic Approach / O. Chuluunbaatar, A. Gusev, A.G. Abrashkevich, A. Amaya-Tapia, M. Kaschiev, S. Larsen, S. Vinitsky // Comput. Phys. Commun. 2007. Vol. 177. Pp. 649-675.8.KANTBP 2.0: New Version of a Program for Computing Energy Levels, Reaction Matrix and Radial Wave Functions in the Coupled-Channel Hyperspherical Adiabatic Approach / O. Chuluunbaatar, A.A. Gusev, S.I. Vinitsky, A.G. Abrashkevich // Comput. Phys. Commun. 2008. Vol. 179. Pp. 685-693.9.Gusev A. A., Hai L. L., Chuluunbaatar O., Vinitsky S. I. Program KANTBP 4M for Solving Boundary-Value Problems for Systems of Ordinary Differential Equations of the Second Order. - http://wwwinfo.jinr.ru/programs/jinrlib/kantbp4m.10.Symbolic Numerical Algorithm for Solving Quantum Tunneling Problem of a Diatomic Molecule Through Repulsive Barriers / S.I. Vinitsky, A.A. Gusev, O. Chuluunbaatar, L.L. Hai, V.L. Derbov, P.M. Krassovitskiy, A. Go´´zd´z // Lect. Notes Comp. Sci. 2014. Vol. 8660. Pp. 472-490.11.Krassovitskiy P., Pen’kov F. Contribution of Resonance Tunneling of Molecule to Physical Observables // J. Phys. B. 2014. Vol. 47. P. 225210.12.Wang J., Wang G., Zhao J. Density Functional Study of Beryllium Clusters with Gradient Correction // J. Phys. Cond. Matt. 2001. Vol. 13. Pp. L753-L758.13.Стренг Г., Фикс Г. Теория метода конечных элементов. - Москва: Мир, 1977.14.Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. Москва: Стройиздат, 1982.15.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - М.: Физматлит, 1962. Т. 1.16.Гусев А.А., Хай Л.Л. Алгоритм решения двумерной краевой задачи для модели квантового туннелирования двухатомной молекулы через отталкивающие барьеры // Вестник РУДН, серия «Математика. Информатика. Физика». 2015. № 1. С. 15-36.17.Pijper E., Fasolino A. Quantum Surface Diffusion of Vibrationally Excited Molecular Dimers // J. Chem. Phys. 2007. Vol. 126. P. 014708.18.Модели резонансного туннелирования составных систем через отталкивающие барьеры / А.А. Гусев, А. Гоздз, В.Л. Дербов, С.И. Виницкий, О. Чулуунбаатар, П М. Красовицкий // Новости ОИЯИ. 2014. № 1. С. 22-26.19.Mitin A. V. Ab Initio Calculations of Weakly Bonded He2 and Be2 Molecules by MRCI Method with Pseudo-Natural Molecular Orbitals // Int. J. Quantum Chem. 2011. Vol. 111. Pp. 2560-2567.20.Merritt J. M., Bondybey V. E., Heaven M. C. Beryllium Dimer-Caught in the Act of Bonding // Science. 2009. Vol. 324. Pp. 1548-1551.21.Patkowski K., Sˇpirko V., Szalewicz K. On the Elusive Twelfth Vibrational State of Beryllium Dimer // Science. 2009. Vol. 326. Pp. 1382-1384.