Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)14556ArticlesСтатьиResearch ArticleOn Almost Global Half-Geodesic ParameterizationО существовании глобальной полугеодезической параметризации поверхностейShcherbakovE AЩербаковЕвгений Александровичecht@math.kubsu.ruShcherbakovM EЩербаковМихаил Евгеньевичlatiner@mail.ruKuban State UniversityКубанский государственный университет151220164NO4 (2016)№4 (2016)51414122016Copyright ©; 2016, Щербаков Е.А., Щербаков М.Е.2016Щербаков Е.А., Щербаков М.Е.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/14556The problem of existence of Global Half-Geodesic Surface Parameterization is considered. The problem is well known and it is yet unsolved in general case. It is known that for the twice-differentiable surfaces it has local solution. At the same time example of paraboloid of revolution proves that it is not possible in the general case to use local nets in order to construct the global halfgeodesic ones. In order to solve the problem the authors follow the way leading to the construction of isothermal parameterization for the surfaces with positive first quadratic form. To this end they deduce partial differential equation for the mappings giving necessary parameterization. In the contrast with the case of isothermal parameterization when the equation is Beltrami equation corresponding to the homogeneous elliptic system this equation is essentially non-linear one. Besides the new system admits degeneration at the points where the Jacobian of the solution is equal to zero or infinity. The speed of degeneration strongly affecting properties of the solutions is also unknown. In order to surpass these difficulties the authors change the challenge. Instead of the geodesics covering the whole surface they propose to find the geodesics covering the surface up to the set of Hausdorff null measure. Using the theory of -quasiconformal mappings they construct nonregular generalized solutions of non-linear Beltrami equation that nevertheless detect the necessary family of the geodesics. The constructed theory permits to study non-classical equilibrium forms of liquid drops.В статье рассматривается задача о существовании глобальной полугеодезической параметризации поверхностей. Эта проблема хорошо известна и является до сих пор нерешённой в общем виде. Известно, что для дважды непрерывно дифференцируемых поверхностей эта проблема имеет локальное решение. Однако, пример параболоида вращения указывает на то, что невозможно, вообще говоря, использовать локальные сети для построения глобальной координатной сети, определяемой полугеодезической параметризацией. Для решения задачи авторы идут по пути, приводящему к построению изотермической параметризации для поверхностей с положительно определённой первой квадратичной формой. С этой целью они выводят дифференциальное уравнение, которому должно удовлетворять отображение реализующее нужную параметризацию. В отличие от классического случая изотермической параметризации, новое уравнение представляет собой существенно нелинейное уравнение. Кроме того, эллиптическая система, определяемая новым уравнением, допускает вырождение в точках, в которых якобиан её решения обращается в ноль или бесконечность. При этом множество вырождения является заранее неизвестным. Неизвестна и скорость вырождения системы, которая существенно влияет на свойства неравномерно эллиптических систем. Для преодоления указанных трудностей авторы видоизменяют постановку задачи: вместо семейства геодезических, покрывающих поверхность полностью, они ограничиваются семействами таких линий, которые покрывают её лишь с точностью до множества нулевой меры Хаусдорфа. С помощью теории K-квазиконформных отображений они строят негладкие отображения, являющиеся обобщёнными решениями нелинейного уравнения Бельтрами, которые, тем не менее, позволяют выделить нужное семейство геодезических. Построенная авторами параметризация даёт возможность исследовать неклассические равновесные формы жидких капель.first quadratic form of the parametric surfacequasiconfor- mal mappingsgeneralized solutionnon-linear Beltrami equationSobolev spacesimbedding theoremsweak convergence of the functionsalmost global half-geodesic parameterization1.Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. Москва: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1988.2.Дарбу Ж.Г. Лекции по общей теории поверхностей. Москва, Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2013. Т. 2.3.Shcherbakov E. Generalized minimal Liouville surfaces // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2009. Vol. 54, No 2. Pp. 179-192.4.Shcherbakov E. Equillibrium State of a Pendant Drop with Interphase Layer // Journal of Analysis and its Applications, European Mathematical Society (Zeitschrift fu¨r Analysis und ihre Anwendungen). 2012. Vol. 44. Pp. 1-15.5.Щербаков Е.А., Щербаков М.Е. О равновесии висящей капли с учётом упругости промежуточного слоя // Доклады РАН. 2012. Т. 444, № 4. С. 1-2.6.Боярский Б. Обобщённые решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами // Математический сборник. 1957. Т. 43, № 4. С. 451-503.7.Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1977.8.Astala K., Iwaniec T., Martin G. Elliptic partial differential equations and quasiconformal mappings in the plane. Princeton University Press, 2009.9.Суворов Г. Д. Семейства плоских топологических отображений. Новосибирск: Редакционно-издательский отдел Сибирского отделения АН СССР, 1965.10.Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal Mappings in the Plane. Springer-Verlag, 1973.11.Hatson V., Pym S. Application of Functional Analysis and Operator Theory. Academic Press, 1980.12.Fabian V. On Uniform Convergence of Measures // Z. Wahrscheinlichkutstheorieverw. Geb. 1970. Vol. 15. Pp. 139-143.13.Kufner A., John O., Fuˇcik S. Function Spaces. Prague: Academic Publishing House of Czechoslovak Academy of Science, 1977.14.Halmos P. Measure Theory. New York Inc.: Springer-Verlag, 1974.15.do Carmo M. P. Differential Geometry of Curves and Surfaces. New Jersey: Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, 1976.