Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)13400ArticlesСтатьиResearch ArticleStability of Non-Linear Vibrations of Doubly Curved Shallow ShellsУстойчивость нелинейных колебаний пологих оболочек двоякой кривизныMukharlyamovR GМухарлямовРоберт Гарабшевичrobgar@mail.ruAmabiliMАмабилиМаркоmarco.amabili@mcgill.caGarzieraRГарзиераРинальдоrinaldo.garziera@gmail.comRiabovaK SergeevnaРябоваКсения Сергеевнаkseniia.riabova@studenti.unipr.itPeoples Friendship University of RussiaРоссийский университет дружбы народовMcGill UniversityУниверситет МакГиллUniversity of ParmaУниверситет Пармы150220162NO2 (2016)№2 (2016)536317092016Copyright ©; 2016, Мухарлямов Р.Г., Амабили М., Гарзиера Р., Рябова К.С.2016Мухарлямов Р.Г., Амабили М., Гарзиера Р., Рябова К.С.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/13400Large amplitude (geometrically non-linear) vibrations of doubly curved shallow shells with rectangular boundary, simply supported at the four edges and subjected to harmonicexcitation normal to the surface in the spectral neighbourhood of the fundamental mode are subject of investigation in this paper. The first part of the study was presented by the authors in [M. Amabili et al. Nonlinear Vibrations of Doubly Curved Shallow Shells. Herald of Kazan Technological University, 2015, 18(6), 158-163, in Russian]. Two different non-linear strain-displacement relationships, from the Donnell’s and Novozhilov’s shell theories, are used to calculate the elastic strain energy. In-plane inertia and geometricimperfections are taken into account. The solution is obtained by Lagrangian approach. The non-linear equations of motion are studied by using (i) a code based on arclengthcontinuation method that allows bifurcation analysis and (ii) direct time integration. Numerical results are compared to those available in the literature and convergence of the solution is shown. Interaction of modes having integer ratio between their natural frequencies, giving rise to internal resonances, is discussed. Shell stability under dynamic load is also investigated by using continuation method, bifurcation diagram from direct time integration and calculation of the Lyapunov exponents and Lyapunov dimension. Interesting phenomena such as (i) snap-through instability, (ii) subharmonic response, (iii) period doubling bifurcations and (iv) chaotic behavior have been observed.В статье рассматриваются высокоамплитудные (геометрически нелинейные) колебания пологих оболочек двоякой кривизны c прямоугольными границами, свободно опертых по всем четырем краям и подвергающихся нормальному к поверхности гармоническому воздействию в спектральной окрестности основной формы. Первая часть проведенных исследований была представлена в работе [М. Амабили и др. Нелинейные колебания пологих оболочек двоякой кривизны // Вестник КГТУ, 2015. - Т. 18, № 6. - С. 158-163] авторов. Для расчета энергии упругой деформации были использованы два различных нелинейных соотношения между деформацией и перемещением: из теории Доннелла и теории Новожилова. Учитывались также геометрические несовершенства формы оболочкии и влияние инерции в плоскости. Построены приближенные уравнения динамики в форме уравнений Лагранжа второго рода. Предполагается, что потенциальная энергия сил упругости разлагается в ряд, в котором ограничиваются членами третьего порядка. Для исследования устойчивости невозмущенного движения используется метод функций Ляпунова и метод характеристичных чисел. Полагая функцию Ляпунова квадратичной формой с постоянными коэффициентами, определяются условия, при которых решение, соответствующее невозмущенному движению системы при гармоническом воздействии, является устойчивым. Определяется оценка наибольшего характеристичного числа Ляпунова. Приводятся результаты численных экспериментов, полученных для системы с гармоническим возбуждением. Рассматривается случай сферической оболочки, исследуется эффект влияния различной кривизны, проводится бифуркационный анализ.nonlinear vibrationsshallow shellsequationmotionstabilityнелинейные колебанияпологие оболочкиуравнениедвижениеустойчивость1.Нелинейные колебания пологих оболочек двоякой кривизны / М. Амабили, Р. Гарзиера, Р. Мухарлямов, К. Рябова // Вестник КГТУ. - 2015. - Т. 18, № 6. - С. 158-163.2.Amabili M. Comparison of Shell Theories for Large-Amplitude Vibrations of Circular Cylindrical Shells: Lagrangian Approach // Journal of Sound and Vibration. 2003. No 264. Pp. 1091-1125.3.Amabili M. Nonlinear Vibrations of Circular Cylindrical Panels // Journal of Sound and Vibration. 2005. No 281. Pp. 509-535.4.Amabili M. Nonlinear Vibrations of Rectangular Plates with Different Boundary Conditions: Theory and Experiments // Computers and Structures. 2004. No 82. Pp. 2587-2605.5.Wolfram S. The Mathematica Book, 4th edition. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1999.6.AUTO 97: Continuation and Bifurcation Software for Ordinary Differential Equations (with HomCont) / E. J. Doedel, A. R. Champneys, T. F. Fairgrieve, Y. A. Kuznetsov, B. Sandstede, X. Wang. Montreal, Canada: Concordia University, 1998.7.Argyris J., Faust G., Haase M. An Exploration of Chaos. Amsterdam: North-Holland, 1994.8.Kobayashi Y., Leissa A. W. Large Amplitude Free Vibration of Thick Shallow Shells Supported by Shear Diaphragms // International Journal of Non-Linear Mechanics. 1995. No 30. Pp. 57-66.