Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)13385ArticlesСтатьиResearch ArticleOn an Auxiliary Nonlinear Boundary Value Problem in the Ginzburg-Landau Theory of Superconductivity and its Multiple SolutionsОб одной вспомогательной нелинейной краевой задаче в теории сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау и её множественных решенияхKonyukhovaN BКонюховаНадежда Борисовнаnadja@ccas.ruSheinaA AШеинаАнастасия Александровнаnadja@ccas.ruFRC CSC of RASФИЦ ИУ РАН150320163NO3 (2016)№3 (2016)52017092016Copyright ©; 2016, Конюхова Н.Б., Шеина А.А.2016Конюхова Н.Б., Шеина А.А.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/13385We realize analytic-numerical investigation of a homogeneous boundary value problem (BVP) for a second-order ordinary differential equation (ODE) with cubic nonlinearity and two real parameters which arises from the Ginzburg-Landau theory of superconductivity. Multiple nontrivial solutions to this problem depending on the specified parameters are expressed through the Jacobi elliptic functions and describe the stationary states (near the critical values of temperature) of a superconducting infinite plate of a finite thickness without magnetic field. It is a “degenerate” problem with respect to the original nonlinear BVP for a superconducting plate in a magnetic field and is important to construct algorithm for finding all the solutions to the indicated input problem in a wide range of the parameters. Studied problem is of separate mathematical interest by itself.Проводятся аналитико-численные исследования однородной нелинейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с кубической нелинейностью и двумя вещественными параметрами, возникающей в теории сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау. Множественные нетривиальные решения этой задачи, зависящие от указанных параметров, выражаются через эллиптические функции Якоби и описывают стационарные состояния (вблизи критических значений температур) сверхпроводящей бесконечной пластины конечной толщины в отсутствие магнитного поля. Задача является «вырожденной» по отношению к исходной нелинейной краевой задаче для сверхпроводящей пластины в магнитном поле и важна для построения алгоритма нахождения всех решений последней в широком диапазоне изменения параметров; изучаемая задача представляет и самостоятельный математический интерес.The Ginzburg-Landau theory of superconductivitystationary states of a superconducting plate without magnetic fieldnonlinear second-order ordinary differential equation (ODE)homogeneous boundary value problem (BVP) and its multiple solutionsтеория сверхпроводимости Гинзбурга-Ландаустационарные состояния сверхпроводящей пластины в отсутствие магнитного полянелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядкаоднородная краевая задача и её множественные решения1.27 апреля 2016 г2.Гинзбург В. Л., Ландау Л. Д. К теории сверхпроводимости // Журнал экспериментальной и теоретичесокй физики. - 1950. - Т. 20, № 12. - С. 1064-1082.3.Шмидт В. В. Введение в физику сверхпроводников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1982. - 238 с.4.Zharkov G. F. First and Second Order Phase Transitions and Magnetic Hysteresis in a Superconducting Plate // Journal of Low Temperature Physics. - 2003. - Vol. 130, No 1/2. - Pp. 45-67.5.Жарков Г. Ф. Сверхпроводящие состояния и магнитный гистерезис в сверхпроводниках конечного размера // Успехи физических наук. - 2004. - Т. 174, № 9. - С. 1012-1017.6.Аналитико-численные исследования нелинейной краевой задачи для сверхпроводящей пластины в магнитном поле / А. Л. Дышко, Г. Ф. Жарков, Н. Б. Конюхова, С. В. Курочкин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2005. - Т. 45, № 9. - С. 1651-1676.7.Konyukhova N. B., Kurochkin S. V. On Nonlinear Ginzburg-Landau Boundary Value Problem for a Superconducting Plate in a Magnetic Field // International Scientific Journal Spectral and Evolution Problems. - 2007. - Vol. 17. - Pp. 125-136. - (Simferopol: Taurida National V.Vernadsky University; e-print: http://www.kromsh.info/).8.Kwong M. K. On the One-Dimensional Ginzburg-Landau BVPs // Differential and Integral Equations. - 1995. - Vol. 8, No 6. - Pp. 1395-1405.9.Marcus P. M. Exact Solution of the Ginzburg-Landau Equations for Slabs in Tangential Magnetic Fields // Reviews of Modern Physics. - 1964. - Pp. 294-299.10.Keller H. B., White A. B. JR. Difference Methods for Boundary Value Problems in Ordinary Differential Equations // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1975. - Vol. 12, No 5. - Pp. 791-802.11.Арнольд В. И. Теория катастроф. - М.: Наука, 1990. - 128 с.12.Rach˚unkov´a I. Multiple Solutions of Nonlinear Boundary Value Problems and Topological Degree // Proc. Conf. on Differential Equations and Their Applications (EQUADIFF 9; held in Brno, August 25-29, 1997). - Brno: Masaryk Univ., 1997. - Pp. 147-158.13.Янке М. Ф., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1977. - 344 с.14.Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1977. - 224 с.15.Лаврентьев М. Ф., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1956. - 716 с.16.Bubbles and Droplets in Nonlinear Physics Models: Analysis and Numerical Simulation of Singular Nonlinear Boundary Value Problem / N. B. Konyukhova, P. M. Lima, M.L. Morgado, M.B. Soloviev // Comput. Math. Math. Phys. - 2008. - Vol. 48, No 11. - Pp. 2018-2058. - (Pleiades Publishing, Ltd., 2008).