Решение уравнения эйконала методом FSM на языке Julia

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Существует два основных подхода к численному решению уравнения эйконала: сведение его к системе ОДУ (метод характеристик) и конструирование специализированных методов для численного решения данного уравнения в виде дифференциального уравнения в частных производных. К последнему подходу относится метод FSM (Fast sweeping method). Резонно предположить, что специализированный метод должен обладать большей универсальностью. Цель данной работы - оценка применимости метода FSM для построения лучей и фронтов. Использовалась реализация метода FSM в библиотеке Eikonal языка программирования Julia. Метод применялся для численного моделирования сферических линз Максвелла, Люнеберга и Итона. Данные линзы были выбраны так как их оптические свойства хорошо изучены. Был выбран частный случай плоских линз, как наиболее простых для визуализации и интерпретации результатов. Результаты вычислений представлены в виде изображений фронтов и лучей для каждой из линз. Из анализа полученных изображений сделан вывод, что метод FSM хорошо подходит для построения фронтов электромагнитных волн. Попытка же по результатам его работы визуализировать траектории лучей наталкивается на ряд трудностей и в некоторых случаях дает неправильную визуальную картину.

Полный текст

1. Introduction In this article, we use the FSM (Fast Sweeping Method) method to solve the Eikonal equation using the example of three classical lenses: Luneburg, Maxwell and Eaton. These examples illustrate the limitations of the FSM method-it does a good job of calculating wave fronts, but is poorly applicable for calculating the trajectory of rays. To model lenses, we use the Julia language and the Eikonal library, which implements the FSM method. The simulation results are visualized using the Mackie.jl library. Schematic illustrations are created using a separate vector graphics language, Asymptote. 1.1. Structure of the article The paper consists of an introduction, a theoretical part, a description of the FSM (Fast sweeping method) [1-5], a description of implementation this method, a visualisation and discussion of the results. In the theoretical part, the eikonal equation in Cartesian coordinate system is given, and the spherical lenses used for numerical experiments are schematically described. In the next part, the numerical scheme of the FSM method with detailed formulas for the twodimensional case is described, and its advantages and disadvantages compared to the feature method are briefly analyzed. Below is a brief description of the Eikonal library [6] for the Julia language [7] and a description of the program we have written that implements a numerical experiment. In the final part, images of fronts and rays are presented, the results are analysed and conclusions are made about the advantages and disadvantages of the FSM method concerning the visualisation of the calculations. © Stepa C. A., Fedorov A. V., Gevorkyan M. N., Korolkova A. V., Kulyabov D. S., 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 1.2. Designations and agreements For the purposes of this paper, we have followed standard notation, centred on the classic monograph [8]. All vector quantities are in bold, e.g., the position of a point
×

Об авторах

К. А. Штепа

Российский университет дружбы народов

Email: 1042210111@pfur.ru
ORCID iD: 0000-0002-4092-4326
ResearcherId: GLS-1445-2022

PhD student of Probability Theory and Cyber Security

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

А. В. Фёдоров

Российский университет дружбы народов

Email: 1042210107@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0002-3036-0117
Scopus Author ID: 57219092618
ResearcherId: AGY-9849-2022

PhD student of Probability Theory and Cyber Security

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

М. Н. Геворкян

Российский университет дружбы народов

Email: gevorkyan-mn@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0002-4834-4895
Scopus Author ID: 57190004380
ResearcherId: E-9214-2016

Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Probability Theory and Cyber Security

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

А. В. Королькова

Российский университет дружбы народов

Email: korolkova-av@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0001-7141-7610
Scopus Author ID: 36968057600
ResearcherId: I-3191-2013

Docent, Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Probability Theory and Cyber Security

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

Д. С. Кулябов

Российский университет дружбы народов; Объединённый институт ядерных исследований

Автор, ответственный за переписку.
Email: kulyabov-ds@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0002-0877-7063
Scopus Author ID: 35194130800
ResearcherId: I-3183-2013

Professor, Doctor of Sciences in Physics and Mathematics, Professor of the Department of Probability Theory and Cyber Security of Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University); Senior Researcher of Laboratory of Information Technologies, Joint Institute for Nuclear Research

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация; ул. Жолио-Кюри, д. 6, Дубна, 141980, Российская Федерация

Список литературы

  1. Zhao, H. A fast sweeping method for Eikonal equations. Mathematics of Computation 74, 603-627 doi: 10.1090/s0025-5718-04-01678-3 (May 2004).
  2. Gremaud, P. A. & Kuster, C. M. Computational Study of Fast Methods for the Eikonal Equation. SIAM Journal on Scientific Computing 27, 1803-1816. doi: 10.1137/040605655 (Jan. 2006).
  3. Jeong, W. & Whitaker, R. A fast eikonal equation solver for parallel systems. SIAM conference 84112, 1-4 (2007).
  4. Kulyabov, D. S., Gevorkyan, M. N. & Korolkova, A. V. Software Implementation of the Eikonal Equation in Proceedings of the Selected Papers of the 8th International Conference ”Information and Telecommunication Technologies and Mathematical Modeling of High-Tech Systems” (ITTMM-2018), Moscow, Russia, April 16, 2018 (eds Kulyabov, D. S., Samouylov, K. E. & Sevastianov, L. A.) 2177 (Moscow, Apr. 2018), 25-32.
  5. Kulyabov, D. S., Korolkova, A. V., Velieva, T. R. & Gevorkyan, M. N. Numerical analysis of eikonal equation in Saratov Fall Meeting 2018: Laser Physics, Photonic Technologies, and Molecular Modeling (ed Derbov, V. L.) 11066 (SPIE, Saratov, June 2019), 56. doi: 10.1117/12.2525142. arXiv: 1906.09467.
  6. Févotte, F. Fast Sweeping and Fast Marching methods for the solution of eikonal equations version 0.2.0. https://github.com/triscale-innov/Eikonal.jl (2023).
  7. Lauwens, B. & Downey, A. Think Julia How to Think Like a Computer Scientist. 229 pp. (O’Reilly Media, Inc., 2019).
  8. Born, M. & Wolf, E. Principles of Optics 7th. 952 pp. (Cambridge University Press, 1999).
  9. Fedorov, A. V., Stepa, C. A., Korolkova, A. V., Gevorkyan, M. N. & Kulyabov, D. S. Methodological derivation of the eikonal equation. Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science 31, 399-418. doi: 10.22363/2658-4670-2023-31-4-399-418 (Dec. 2023).
  10. Ivanov, D. I., Ivanov, I. E. & Kryukov, I. A. Hamilton-Jacobi equation-based algorithms for approximate solutions to certain problems in applied geometry. Computational Mathematics and Mathematical Physics 45, 1297-1310 (8 2005).
  11. Kabanikhin, S. I. & Krivorotko, O. I. Numerical solution eikonal equation. Siberian Electronic Mathematical Reports 10, 28-34 (2013).
  12. Fonseca, N. J. G., Tyc, T. & Quevedo-Teruel, O. A solution to the complement of the generalized Luneburg lens problem. Communications Physics 4. doi: 10.1038/s42005-021-00774-2 (2021).
  13. Abbasi, M. A. B. & Fusco, V. F. Maxwell Fisheye Lens Based Retrodirective Array. Scientific Reports 9. doi: 10.1038/s41598-019-52779-1 (Nov. 2019).
  14. Zeng, Y. & Werner, D. H. Two-dimensional inside-out Eaton Lens. Design technique and TMpolarized wave properties. Optical Express 20, 2335-2345. doi: 10.1364/OE.20.002335 (Jan. 2012).
  15. Gevorkyan, M. N., Kulyabov, D. S. & Sevastyanov, L. A. Review of Julia programming language for scientific computing in The 6th International Conference ”Distributed Computing and Gridtechnologies in Science and Education” (2014), 27.
  16. Phillips, L. Practical Julia. A Hands-On Introduction for Scientific Minds 528 pp. (No Starch Press, Oct. 31, 2023).

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Штепа К.А., Фёдоров А.В., Геворкян М.Н., Королькова А.В., Кулябов Д.С., 2024

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.