СЛУЧАЙНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО И ВИНЕРОВСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Аннотация

Обсуждается предложенное Винером специальное представление квантовой механики, в котором волновая функция выступает как гауссовская случайная величина, то есть как вектор случайного гильбертова пространства. Проясняется связь этого представления с известной программой Эйнштейна по созданию последовательной полевой формулировки физики частиц, в которой частицы рассматриваются как солитоны, сгустки некоторого материального поля, подчиняющегося нелинейным уравнениям.

Полный текст

Американский математик Норберт Винер хорошо известен своими работами по логике, вычислительной математике, кибернетике, гармоническому анализу и теории вероятности. Будучи профессором Массачусетского технологического института, он читал студентам-электрикам лекции, которые впоследствии были изданы [1], по применению теории случайных процессов к электрическим сетям. Любопытно, что в этих лекциях Винер нашел неожиданное приложение построенной им теории броуновского движения (знаменитой меры Винера) к квантовой механике. Ему удалось построить специальное представление волновой функции как элемента случайного гильбертова пространства ℋ, в котором скалярное произведение определяется с помощью операции усреднения Ⅿ: Ⅿ. (1) Предварительно Винер рассмотрел вещественную броуновскую траекторию с номером , параметром эволюции и коррелятором вида . (2) Этот броуновский случайный процесс обобщается на комплексное пространство: , (3) а параметр эволюции связывается с координатой квантовой частицы путем стандартного отображения . После этого волновая функция подвергается интегральному преобразованию ℋ. (4) При этом из (2) выводится условие унитарности данного преобразования: . (5) Целью настоящей работы является установление связи между подходом Винера к квантовой механике и грандиозной программой геометризации физики, предложенной Эйнштейном [2; 3] и Ми [4] и основанной на изложенной выше концепции единого (первичного) материального поля (“unitary field”). Для обоснования этой связи прежде всего необходимо ответить на вопрос о природе первичного нелинейного поля, сгустками которого являются частицы. Для ответа на этот вопрос обратимся к знаменитой задаче Л. Эйлера об n квадратах [5]: «Представить квадрат суммы n квадратов вещественных чисел в виде суммы n квадратов: , где билинейные комбинации чисел ». Оказывается, что при n = 2 решение этой задачи было уже известно Пифагору, Диофанту, Фибоначчи, Брахмагупте и другим античным математикам. В этом случае , и иллюстрацией применения этого решения может служить знаменитый «египетский треугольник» со сторонами 3, 4, 5. В 1748 году Эйлер получил решение для n = 3 и n = 4, используя ортогональные матрицы размерности соответственно 3×3 и 4×4, элементы которых суть билинейные комбинации 4 и 8 произвольных чисел. Комментируя последнее полученное решение, он записал в своем дневнике (цит. по: [5]): «Это решение заслуживает тем большего внимания, что я пришел к нему не при помощи какого-либо определенного метода, а как бы догадками; а так как оно к тому же содержит 8 произвольных чисел, которые после приведения к единице сводятся к семи, то едва ли можно сомневаться, что решение это универсальное и заключает в себе все возможные решения. Если кто-нибудь найдет прямой путь к проведению этого решения, то будет считаться, что он оказал анализу выдающуюся помощь. Существуют ли подобные решения для более широких квадратов, которые состоят из 25, 36 и т. д. чисел, я едва ли решусь утверждать. Тут не только обыкновенная алгебра, но и диофантов метод, кажется, получит огромный вклад». Впоследствии выяснилось, что решение, найденное Эйлером, может быть получено при помощи кватернионов [5]. Более того, в 1838 году немецкий алгебраист Адольф Гурвиц доказал фундаментальную теорему о существовании только четырех нормированных алгебр, а именно алгебр вещественных и комплексных чисел, кватернионов и бикватернионов (октав) [6; 7]. Согласно теореме Гурвица, задача Эйлера не имеет решения при n = 5, 6, 7, но имеет его при n = 8. Изящное геометрическое решение задачи Эйлера при нашел выдающийся итальянский геометр Франческо Бриоски (1824-1897) [8], который для описания 8-мерного пространства использовал комплексные проективные координаты - спиноры, имеющие 16 компонент. Бриоски обнаружил для 8-пространства замечательную симметрию - принцип триальности [9], согласно которому существует три равноправных геометрических объекта: 8-вектор и два 8-компонентных полуспинора, линейные преобразования которых порождают вращения в 8-пространстве. При этом решение задачи Эйлера опирается на замечательное тождество Бриоски, справедливое для любого 8-спинора : (6) где используются стандартные билинейные по спинорному полю величины: содержащие матрицы Дирака и внутренние (изотопические) матрицы Паули . Структура тождества (6) идеально подходит для обеспечения устойчивости солитонов как конфигураций с минимальной энергией. В самом деле, если считать, что для искомого состояния правая часть (6) принимает некоторое фиксированное значение (принцип спонтанного нарушения симметрии): (7) то уравнение (7) определяет структуру полевого многообразия, то есть соответствующее фазовое пространство, 7-сферу S7. Нетрудно видеть, что S7 включает в качестве подмногообразий сферы S3 и S2, для которых третья гомотопическая группа нетривиальна: ℤ. Например, в случае получаем сферу S3, порождающую состояния с нетривиальным топологическим зарядом типа степени отображения B, который может быть интерпретирован как барионное число. К этому классу относится хорошо известная в ядерной физике модель Скирма [10]. Наконец, в случае подмногообразия S2: получаем состояния с нетривиальным индексом Хопфа L, который, по предложению Л.Д. Фаддеева [11], может быть интерпретирован как лептонное число. Существование топологических солитонов в указанных моделях было строго установлено [12]. Для объединенного описания барионов и лептонов естественно использовать 16-компонентные спиноры Бриоски как соединение двух 8-спиноров. Это позволяет получить 16-спинорную реализацию киральной модели Скирма - Фаддеева [13], допускающей существование стабильных солитонных конфигураций. Оказывается, что с помощью солитонов можно построить специальное стохастическое представление о волновой функции, эквивалентное винеровскому [13-15]. Для иллюстрации метода построения этого представления предположим, что нам известна лагранжева плотность модели L, зависящая от некоторого многокомпонентного вещественного поля и его производных. Допустим, что рассматривается n-частичная конфигурация, задаваемая n-солитонным решением. В таком случае поле и его канонический импульс разбиваются на n солитоноподобных слагаемых: . (8) Введем теперь на основании (8) вспомогательные комплексные функции (9) в которых постоянные находятся из условия нормировки , где - постоянная Планка. Рассмотрим теперь случайную выборку из N >> 1 солитонных конфигураций (9), считая их независимыми. Например, случайными могут быть как сами профили (9), так и их фазы и скорости. В результате можно построить следующий аналог волновой функции в конфигурационном пространстве : . (10) При этом одночастичная конфигурация в j-м испытании есть . Как видно, конфигурация (10) представляет собой сумму большого числа независимых случайных солитонов, имеющих конечную дисперсию, и поэтому, согласно центральной предельной теореме [16], она является гауссовской случайной переменной, эквивалентной винеровскому представлению волновой функции. В работах [13-15] было показано, что структура (10) согласуется с нерелятивистской квантовой механикой, и в частности, с правилом Борна вычисления средних, если ошибка измерения координаты намного больше, чем размер частицы-солитона.