Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Head of Scientific Information Department of Mechanics
кандидат физико-математических наук, заведующая ОНИ по механике
We prove the existence of exact partial solutions in the form of convex quadrilaterals in the general problem of four bodies mutually acting according to an arbitrary law ~1/rк , where k ≥ 2. For each fixed k ≥ 2 the distances between the bodies and their corresponding sets of four masses are found, which determine private solutions in the form of square, rhombus, deltoid and trapezoid. On the basis of the methodology of classical works the equations of motion in Raus - Lyapunov variables in the general problem of four bodies interacting according to a completely arbitrary law are derived, as it took place when Laplace proved the existence of exact partial triangular solutions of the general problem of three bodies with arbitrary masses. An explanation of the problem of existence of this type of solutions is given, due, in particular, to the more complicated geometry of quadrangular solutions in comparison with triangular ones, the existence of which is proved in the general three-body problem by the classics of celestial mechanics. It is suggested that if the arbitrariness of the interaction law is somewhat restricted, it is possible to prove by numerical methods the existence of exact partial solutions at different fixed values k ≥ 2 and unequal values of the masses of the four bodies.
Доказано существование точных частных решений в форме выпуклых четырехугольников в общей задаче четырех тел, взаимодействующих по произвольному закону ~1/rк , где k ≥ 2. Для каждого фиксированного k ≥ 2 найдены расстояния между телами и соответствующие им совокупности четырех масс, определяющих частные решении в форме квадрата, ромба, дельтоида и трапеции. На основе методологии работ классиков выведены уравнения движения в переменных Рауса - Ляпунова в общей задаче четырех тел, взаимодействующих по совершенно произвольному закону, как это имело место при доказательстве Лапласом существования точных частных треугольных решений общей задачи трех тел с произвольными массами. Приведено объяснение проблемы существования данного типа решений, обусловленной, в частности, более сложной геометрией четырехугольных решений по сравнению с треугольными, существование которых доказано в общей задаче трех тел классиками небесной механики. Высказывается предположение, что если произвольность закона взаимодействия несколько ограничить, можно численными методами доказать существование точных частных решений при различных фиксированных значениях k ≥ 2 и неравных значениях масс четырех тел.