Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)5154210.22363/2413-3639-2026-72-1-165-194UJHLAFArticlesСтатьиReview ArticleExact restrictions of analytic function spaces of several variablesТочные ограничения аналитических функциональных пространств нескольких переменныхhttps://orcid.org/0000-0002-8415-98226506006473ShamoyanR. F.ШамоянР. Ф.rsham@mail.comhttps://orcid.org/0000-0003-2270-1775571927142581045-4238MakhinaN. M.МахинаН. М.makhina32@gmail.comBryansk State Academician I. G. Petrovski UniversityБрянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского14072026721Differential and Functional Differential EquationsДифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения16519429072026Copyright ©; 2026, Shamoyan R.F., Makhina N.M.Copyright ©; 2026, Шамоян Р.Ф., Махина Н.М.2026Shamoyan R.F., Makhina N.M.Шамоян Р.Ф., Махина Н.М.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/51542

In this expository paper, we collect many recent advances in analytic function spaces of several complex variables related with the trace problem in tubular domains over symmetric cones and bounded strongly pseudoconvex domains with smooth boundary. We consider various function spaces of analytic functions of several variables in various domains in $\mathbb C^n$ and provide either complete descriptions of traces or estimates of traces of various analytic function spaces in various domains obtained in recent years, by various authors. The problem to find sharp estimates of traces of Hardy analytic function spaces in the unit polydisk first was posed by W. Rudin in 1969. Since then many papers appeared. We collect in this expository paper not only already many known results on traces of various analytic function spaces in product domains but also discuss various new interesting results related with this problem. Related to the trace problem various results were provided previously by G. Henkin, E. Amar, H. Alexander and various other authors. Finnaly, note that our trace theorems are closely related with the Bergman type projections acting between function spaces with different dimensions. This expository paper contains mainly new results concerning traces in tubular and bounded strongly pseudoconvex domains, proofs of these theorems are based in particular also on various properties of Bergman type projection. In this expository paper we will also shortly discuss some new results obtained by the first author on Bergman type projections in these complicated domains in $\mathbb C^n.$ This is the second part of our notes related to the trace problem. In the first part, we provided a large list of recent sharp results on traces in the polydisk and polyball; it was published in[43]. In the last section of this expository paper, we collect many interesting remarks and put various open interesting questions for interested readers and also add various interesting short comments related with this problem of traces in various simple and complicated domains in $\mathbb C^n$ in various analytic function spaces of several variables. Some new results concerning traces in harmonic function spaces of several variables will be also added.

В этой обзорной статье мы собрали множество последних достижений в области аналитических функциональных пространств нескольких комплексных переменных, связанных с проблемой следа в трубчатых областях над симметричными конусами и ограниченными сильно псевдовыпуклыми областями с гладкой границей. Мы рассматриваем различные функциональные пространства аналитических функций нескольких переменных в различных областях в $\mathbb C^n$ и приводим либо полные описания следов, либо оценки следов различных аналитических функциональных пространств в различных областях, полученные в последние годы различными авторами. Проблема нахождения точных оценок следов аналитических функциональных пространств Харди в единичном полидиске впервые была поставлена У. Рудиным в 1969 году. С тех пор в литературе появилось множество работ по этой теме. В данной обзорной статье мы собрали не только уже известные результаты о следах различных аналитических функциональных пространств в различных областях, но и обсудили различные новые интересные результаты, связанные с этой проблемой. Ранее по теме следов были получены различные результаты, относящиеся к проблеме следов, Г. Хенкиным, Э. Амаром, Г. Александром и другими авторами. Наконец, отметим, что теоремы о следах тесно связаны с проекциями типа Бергмана, действующими между функциональными пространствами различной размерности. Эта обзорная статья содержит в основном новые результаты, касающиеся следов в трубчатых и ограниченных сильно псевдовыпуклых областях. Доказательства этих теорем основаны, в частности, также на различных свойствах проекций типа Бергмана. В этой обзорной статье мы также кратко обсудим некоторые новые результаты, полученные первым автором по проекциям типа Бергмана в этих сложных областях в $\mathbb C^n.$ Это вторая часть наших заметок, посвященных проблеме следов. В первой части, опубликованной в [43], мы представили обширный список последних точных результатов по следам в полидиске и полишаре. В заключительном разделе этой обзорной статьи мы собрали множество интересных замечаний и сформулировали различные открытые интересные вопросы для заинтересованных читателей, а также добавили несколько кратких комментариев, связанных с проблемой следов в различных простых и сложных областях в $\mathbb C^n$ в различных аналитических функциональных пространствах нескольких переменных. Также добавлены некоторые новые результаты, касающиеся следов в гармонических функциональных пространствах нескольких переменных.

Trace operatorBergman and Hardy mixed norm spacesHerz spacesBergman type projectiontube domainspseudoconvex domainsоператор следапространства Бергмана и Харди со смешанной нормойпространство Герцапроекция типа Бергманатрубчатая областьпсевдовыпуклая областьБесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. -М.: Наука, 1975.Хенкин Г.М. Продолжение ограниченных голоморфных функций с одмногообразий общего положения в строго псевдовыпуклой области // Изв. АН СССР. Сер. мат.- 1972.-36, № 3.- С. 540-567.Часова Н.А. Интегральные представления, двойственность и теплицевы операторы в весовых анизотропных пространствах голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой // Дисс. к.ф.м.н. - СПб: РГПУ им. А.И. Герцена, 2003.Шамоян Р.Ф. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Докл. АН АрмССР. - 1987.- 85, № 1.-С. 7-11.Шамоян Р.Ф. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Сиб. мат. ж. - 1990.- 31, № 2.-С. 197-215.Шамоян Р.Ф. Характеризации типа ВМО, диагональное отображение и ограниченнность интегральных операторов в некоторых пространствах аналитических функций // Владикавказ. мат. ж.- 2007.-9, № 2.-С. 40-53.Шведенко С.В. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге, поликруге и шаре // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал.-1985.- 23.- С. 3-124.Alexander H. Extending bounded holomorphic function from certain subvarieties of a polydisk // Pacific J. Math. - 1969.- 3.-С. 485-490.- DOI: 10.2140/pjm.1969.29.485.Amar E. Extentsion de functions holomorphic avec estimation // Ark. Mat. -1979.- 17, № 1.-С. 123- 139.- DOI: 10.1007/BF02385462.Amar E., Menini C. A counter example to corona problem for operators on Hardy H2 space in the polydisk // Pacific J. Math.- 2002.- 206, № 2.- С. 21-29.-DOI: 10.2140/pjm.2002.206.257.Arsenovic M., Shamoyan R. Trace theorems in harmonic function spaces on , multipliers theorems and related problems // Kragujevac J. Math.- 2011.- 35, № 3.- С. 411-430.Arsenovic M., Shamoyan R. On embeddings, traces and multipliers in harmonic function spaces // Kragujevac J. Math. -2013.-37, № 1. -С. 45-64.Bekolle D., Berger C., Coburn L., Zhu K. BMO in the Bergman metric on bounded symmetric domains // J. Funct. Anal.- 1990.-93, № 2.- С. 310-350.- DOI: 10.1016/0022-1236(90)90131-4.Bekolle D., Bonami A., Garrigos G., Nana C., Peloso M.M., Ricci F. Lecture notes on Bergman projectors in tube domains over cones: an analytic and geometric viewpoint // IMHOTEP J. Afr. Math. Pures Appl. - 2004.-5, № 1.-С. 1-75.Cima J., Graham I.R. On the extention of holomorphic function with growth condition across analytic subvarietes // Michigan Math. J. -1981.- 28.- С. 241-256.- DOI: 10.1307/mmj/1029002513.Clark D. Restrictions of Hp spaces in the polydisk // Amer. J. Math. - 1988.- 110, № 6.- С. 1119-1152.- DOI: 10.2307/2374688.Cumenge A. Extentsion dans les classes de Hardy de functions holomorphes et estimationes de type measures de Carleson // Ann. Inst. Fourier.- 1983.- 3, № 33.-С. 59-87.- DOI: 10.5802/aif.931.Djrbashian A.E., Shamoyan F.A. Topics in the Theory of Apα Spaces.-Leipzig: Teubner, 1988.Duren P., Shields A. Restrictions Hp functions to the diagonal of the polydisc // Duke Math. J.- 1975.- 42, № 4.- С. 567-579.-DOI: 10.1215/S0012-7094-75-04262-3.Faraut J., Koranyi A. Analysis on Symmetric Cones.- Oxford: Clarendon Press, 1994.-DOI: 10.1093/ oso/9780198534778.001.0001.Frezier A. The dual space of Hp of polydisk for 0 < p № 1 // Duke Math. J. -1972.-39.-С. 369-379.- DOI: 10.1215/S0012-7094-72-03944-0.Henkin G., Polyakov P. Prolongement des fonctions holomorphes born´ees d’une sousvari´et´e du polydisque // C. R. Acad. Sci. Paris.- 1984.- 298.-С. 221-224.Horowitz C., Oberlin D. Restriction of Hp functions to the diagonal of Un // Indiana Univ. Math. J.- 1976.-24, № 7.- С. 767-772.-DOI: 10.1512/iumj.1975.24.24060.Jevtic M., Pavlovic M., Shamoyan R. A note on diagonal mapping theorem in spaces of analytic functions in the polydisk // Publ. Math. Debrechen.- 2009.- 74, № 1-2.- С. 1-14.-DOI: 10.5486/PMD.2009.4242.Mazya V. Sobolev Spaces.-New York: Springer, 1985.Moulin B., Rosay J.-P. Sur la restriction des fonctions plurisousharmoniques a la diagonale du polydisque // Indiana Univ. Math. J.- 1977.- 26, № 5.-С. 869-879.- DOI: 10.1512/iumj.1977.26.26069.Ortega J., Fabrega J. Mixed-norm spaces and interpolation // Studia Math.- 1994.- 109, № 3.- С. 234-254.Ren G., Shi J. The diagonal mapping in mixed norm spaces // Studia Math. -2004.- 163, № 2.- С. 103-117.- DOI: 10.4064/sm163-2-1.Rudin W. Function Theory in Polydisk.- New York: Benjamin, 1969.Sehba B.F. Hankel operators on Bergman spaces of tube domains over symmetric cones // Integral Equ. Operator Theory.- 2008.-62, № 2.- С. 233-245.- DOI: 10.1007/s00020-008-1620-7.Sehba B.F. Bergman type operators in tube domains over symmetric cones // Proc. Edinb. Math. Soc.- 2009.-52, № 2.- С. 529-544.-DOI: 10.1017/S0013091506001593.Shamoyan R. On some problems connected with diagonal map in some spaces of analytic functions // Math. Bohemica.- 2008.- 133, № 4. -С. 351-366.-DOI: 10.21136/MB.2008.140625.Shamoyan R. Some remarks on the operator of diagonal map and on multifunctional analytic spaces // Вестн. ЧелГУ. Мат. Мех. Инф.-2008.-10.-С. 19-24.Shamoyan R. The diagonal mapping in BMOA-type spaces of analytic functions on the polydisk // Georgian Math. J.- 2009.- 16, № 3.-С. 561-574.- DOI: 10.1515/GMJ.2009.561.Shamoyan R.F. On Bergman-type spaces in tubular domains over symmetric cones // Дагестан. электрон. мат. изв.- 2020.- 14.-С. 22-29.-DOI: 10.31029/demr.14.2.Shamoyan R.F., Kurilenko S.M. On a new embedding theorem in analytic Bergman type spaces in bounded strictly pseudoconvex domains of n-dimensional complex space // Журн. СФУ. Сер. Мат. и физ.- 2014.- 7, № 3.-С. 383-388.Shamoyan R., Kurilenko S. On traces in analytic function spaces in polyballs // Palestine J. Math.- 2015.-4, № 2.-С. 291-293.- DOI: 10.1155/2015/265245.Shamoyan R., Kurilenko S. On traces of analytic Herz and Bloch type spaces in bounded strongly pseudoconvex domains in Cn // Probl. Anal. Issues Anal. -2015.- 4, № 1.-С. 73-94.-DOI: 10.15393/ j3.art.2015.2669.Shamoyan R., Kurilenko S. Traces and distances in analytic Function spaces in Cn and Martinelly-Bochner integrals // Чебышев. сб.-2015.- 16, № 2.- С. 254-272.-DOI: 10.1155/2015/265245.Shamoyan R., Kurilenko S. On a trace operator in Bergman type analytic spaces in Siegel domains of the second type // Пробл. физ., мат. и техн.- 2015.- 2.-С. 83-90.Shamoyan R.F., Kurilenko S.M. On traces in Hardy type analytic spaces in bounded strictly pseudoconvex domains and in tubular domains over symmetric cones // Журн. СФУ. Сер. Мат. и физ.- 2016.- 9, № 4. -С. 510-517.-DOI: 10.17516/1997-1397-2016-9-4-510-517.Shamoyan R.F., Makhina N.M. On Bergman type projections in bounded strongly pseudoconvex domains and tubular domains over symmetric cones // Math. Montisnigri.-2024.- 60.-С. 50-57.- DOI: 10.20948/mathmontis-2024-60-4.Shamoyan R., Makhina N. Restrictions of analytic function spaces in the polydisk and related domains. Topical review // Math. Montisnigri.- 2025.- 62.- С. 5-20.- https://www.montis.pmf.ac.me/all issues/62/Mathematica-Montisnigri-62-1.pdf.Shamoyan R., Mihic O. In search of traces of some holomorphic spaces in polyballs // Revista Notas Mat. -2008.-4, № 1.-С. 1-23.Shamoyan R., Mihic O. Analytic classes on subframe and expanded disk and the Rs differential operator in polydisk // J. Inequal. Appl. - 2009.-2009.-353801.-DOI: 10.1155/2009/353801.Shamoyan R., Mihic O. On traces of holomorphic functions on the unit polyball // Appl. Anal. Discrete Math. -2009.-3, № 2.-С. 198-211.- DOI: 10.2298/AADM0902198S.Shamoyan R., Mihic O. A note on traces of some holomorphic functions classes on polyballs // J. Funct. Spaces Appl. - 2010.- 8, № 3.- С. 271-285.-DOI: 10.1155/2010/784896.Shamoyan R., Mihic O. On some inequalities in holomorphic function theory related to diagonal mapping // Chechoslovac Math. J.- 2010.- 60, № 2.- С. 351-370.-DOI: 10.1007/s10587-010-0040-4.Shamoyan R., Mihic O. On traces of Qp type spaces and mixed norm analytic function spaces in polyballs // Siauliau Math. Semin. -2010.- 5, № 13.-С. 101-119.Shamoyan R., Mihic O. On traces of analytic Qp type spaces, mixed norm spaces and harmonic Bergman classes on certain polydomains // Filomat.- 2011.- 25, № 1.-С. 1-19.-DOI: 10.2298/FIL1101001S.Shamoyan R.F., Mihic O.R. Sharp theorems on traces in analytic spaces in bounded strictly pseudoconvex domains // Reports NAS RA. -2014.- 114, № 2.- С. 91-96.Shamoyan R., Mihic O. On traces in some analytic spaces in bounded strictly pseudoconvex domains // J. Function Spaces.- 2015.- 2015.-265245.-DOI: 10.1155/2015/265245.Shamoyan R., Mihic O. Traces of Bergman spaces in pseudoconvex domains // Reports NAS RA. - 2015.- С. 56-62.-DOI: 10.1155/2015/265245.Shamoyan R., Mihic O. On a sharp trace theorem in BMOA type spaces in pseudoconvex domains // C. R. Acad. Bulgare Sci. -2017.- 70, № 2.-С. 161-166.Shamoyan R., Mihic O. On some new sharp embedding theorems in strongly pseudoconvex and tubular domains involving the trace operator // Romai J.- 2019.-15, № 1.- С. 95-116.Shamoyan R., Mihic O. On traces of new BMOA type spaces in tubular domains over symmetric cones // Rep. Adyghe (Circassian) Int. Acad. Sci. -2022.- 22, № 1.-С. 32-38.-DOI: 10.47928/1726-9946-202222-1-32-38.Shamoyan R., Povprits E. Multyfunctional analytic spaces in bounded strongly pseudoconvex domains and sharp embedding theorem // Kragujevac J. Math. -2013.- 5.- С. 241-264.Shamoyan R., Povprits E. Sharp theorems on traces in Bergman type spaces in tubular domains over symmetric cones // Журн. СФУ. Сер. Мат. и физ.-2013.- 6, № 4.- С. 527-538.Shamoyan R., Povpritz E. Trace theorems in unbounded Siegel domains // Uzbek. Math. J.- 2015.- № 1. -С. 149-157.Shamoyan R.F., Shipka A.N. On some new projection theorems and sharp estimates in Herz type spaces in bounded pseudoconvex domains // Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки.- 2018.-1, № 21.- С. 64-77.- DOI: 10.18454/2079-6641-2018-21-1-64-77.Shamoyan R.F., Tomashevskaya E.B. On new decomposition theorems in some analytic function spaces in bounded pseudoconvex domains // Журн. СФУ. Сер. Мат. и физ.- 2020.- 13, № 4.-С. 503-514.- DOI: 10.17516/1997-1397-2020-13-4-503-514.Shamoyan R.F., Tomashevskaya E.B. On some new decomposition theorems in multifunctional Herz and Bergman analytic function spaces in bounded pseudoconvex domains // Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. -2020.-30, № 1. -С. 42-58.-DOI: 10.26117/2079-6641-2020-30-1-42-58.Shamoyan R.F., Tomashevskaya E.B. On new sharp theorems for multifunctional BMOA type spaces in bounded pseudoconvex domains // Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки.- 2020.- 32, № 3.- С. 102-113.- DOI: 10.26117/2079-6641-2020-32-3-102-113.Shamoyan R.F., Tomashevskaya E.B. On some new sharp embedding theorems for multifunctional Herztype and Bergman-type spaces in tubular domains over symmetric cones // Rep. Adyghe (Circassian) Int. Acad. Sci. -2021.- 21, № 3.-С. 21-33.-DOI: 10.47928/1726-9946-2021-21-3-21-33.Shamoyan R.F., Tomashevskaya E.B. On new sharp embedding theorems for multifunctional Herz-type and Bergman-type spaces in tubular domains over symmetric cones // Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. -2021.- 34, № 1.-С. 63-79.-DOI: 10.26117/2079-6641-2021-34-1-63-79.Shamoyan R., Tomashevskaya E. On Bergman type projections in bounded strongly pseudoconvex domains // Rep. Adyghe (Circassian) Int. Acad. Sci. - 2023.- 23, № 2.-С. 18-26.-DOI: 10.47928/1726- 9946-2023-23-2-18-26.Shamoyan R., Tomashevskaya E. Some generalizations of the Bergman projection theorem in tubular and bounded pseudoconvex domains // Siberian Adv. Math. -2024.- 34.- С. 356-365.-DOI: 10.1134/ S1055134424040114.Shamoyan R., Tomashevskaya E. On Bergman type projections in new analytic spaces in tubular domains over symmetric cones // Мат. заметки СВФУ.- 2024.-31, № 3.- С. 73-81.-DOI: 10.25587/2411-9326-2024-3-73-81.Shamoyan R., Zaytseva O. On sharp traces of some new analytic Herz-type spaces in Siegel domains in Cn // Пробл. физ., мат. и техн.- 2015.- 4.-С. 87-95.Shapiro J. Mackey topologies, reproducing kernels and diagonal maps on the Hardy and Bergman spaces // Duke Math. J. -1976.-43.-С. 187-202.- DOI: 10.1215/S0012-7094-76-04316-7.Triebel H. Theory of Function Spaces II. -Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 1992.-DOI: 10.1007/978-30346-0419-2.Xiao J. Holomorphic Qp classes.-Berlin: Springer, 2001.- DOI: 10.1007/b87877.Zarantonello S. The extentions of Hp functions from certain subvarieties of a polydisk // Proc. Amer. Math. Soc.- 1980.- 78, № 4.-С. 519-524.- DOI: 10.1090/S0002-9939-1980-0556624-1.Zhu K. Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball.- New York: Springer, 2005.