Three initial problems for one-dimensional Hamilton-Jacobi equations of evolutionary type are considered on a bounded time segment. In all problems, the Hamiltonians depend on the coordinate and momentum variables. The dependence on momentum is exponential, and the coercivity condition is not satisfied. In two of the problems, the Hamiltonians differ only in the signs of the exponential terms, and these problems are considered in a bounded rectangular domain defined by the zeros of the coefficient functions before the exponential terms. In the case where the coefficients inside the domain are positive and the Hamiltonian is convex in the momentum variable, the existence and uniqueness of a viscosity solution are proved. In the case of negative coefficient functions, a viscosity solution does not exist. A generalized solution is introduced, and sufficient conditions for its existence are obtained. In the third problem, there are no state constraints, but the Hamiltonian is glued together from three components. The existence of a viscosity solution is proved, and its relationship with the generalized solution to the considered problem with state constraints is established. Research and construction are based on the analysis of the behavior of solutions to the corresponding characteristic systems, applying methods of nonsmooth analysis, calculus of variations and optimal control.
На ограниченном отрезке времени рассмотрены три начальные задачи для одномерных уравнений Гамильтона-Якоби эволюционного типа. Во всех задачах гамильтонианы зависят от координатной и импульсной переменных. При этом зависимость от импульса экспоненциальна, и не выполняется условие коэрцитивности. В двух из рассматриваемых задач гамильтонианы отличаются только знаками перед экспоненциальными слагаемыми, и эти задачи рассматриваются в ограниченной прямоугольной области, определяемой нулями функций-коэффициентов перед экспоненциальными слагаемыми. В случае, когда внутри области функции-коэффициенты положительны, и гамильтониан является выпуклым по импульсной переменной, доказаны существование и единственность вязкостного решения. В случае отрицательных функций-коэффициентов вязкостного решения не существует. Введено обобщенное решение и получены достаточные условия его существования. В третьей задаче отсутствуют фазовые ограничения, но гамильтониан склеивается из трех компонент. Доказано существование вязкостного решения, установлена его связь с обобщенным решением рассмотренной задачи с фазовыми ограничениями. Исследования и построения базируются на анализе поведения решений соответствующих характеристических систем, применении методов негладкого анализа, вариационного исчисления и оптимального управления.