Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)5153610.22363/2413-3639-2026-72-1-94-101TYWNVTArticlesСтатьиResearch ArticleMonodromy representations of Jordan-Pochhammer systemsПредставления монодромии систем Жордана-Похгаммера65072981332131-5008LeksinV. P.ЛексинВ. П.lexin_vp@mail.ruState Socio-Humanitarian UniversityГосударственный социально-гуманитарный университет14072026721Differential and Functional Differential EquationsДифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения9410129072026Copyright ©; 2026, Leksin V.P.Copyright ©; 2026, Лексин В.П.2026Leksin V.P.Лексин В.П.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/51536

In this paper, we consider Burau representations of braid groups and Gassner representations of pure braid groups, and their realization as monodromy representations of Jordan-Pochhammer systems with suitable parameters. Jordan-Pochhammer systems are Fuchs-type systems, which demonstrates the solvability of the Riemann-Hilbert problem for Burau and Gassner representations. We consider an extension of this statement to generalized braid groups and their representations.

В работе рассматриваются представления Бурау групп кос и представления Гасснер групп крашеных кос и их реализация в виде представлений монодромии систем Жордана-Похгаммера с подходящими параметрами. Системы Жордана-Похгаммера являются системами типа Фукса, это показывает разрешимость проблемы Римана-Гильберта для представлений Бурау и Гасснер. Рассматривается распространение этого утверждения на обобщенные группы кос и их представления.

Jordan--Pochhammer systemBurau representationGassner representationmonodromy representationRiemann--Hilbert problemсистема Жордана---Похгаммерапредставление Бураупредставление Гасснерпредставление монодромиипроблема Римана---ГильбертаБолибрух А.А. Проблема Римана-Гильберта // Усп. мат. наук.-1990.- 45.-С. 3-47.-DOI: 10.1070/RM1990v045n02ABEH002350.Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа.- М.: Физматлит, 1962.Чередник И. Монодромия r-систем и обобщенные группы кос // Докл. АН СССР. -1989.- 256.- С. 15-18.Cherednik I. Monodromy representations for generalized Knizhnik-Zamolodchikov equations // Publ. RIMS. Kyoto Univ. -1991.- 27.- С. 711-726.- DOI: 10.2977/prims/1195169268.Deligne P. Equations diff´erentielles `а points singuliers r´eguliers.-Berlin-Heidelberg: Springer, 1970.- DOI: 10.1007/BFb0061194.Feigin M.V., Veselov A.P. ∨-systems, holonomy Lie algebras and holomorphic vector fields // Int. Math. Research Notes.- 2017.- 2018, № 7.- С. 2070-2098.- DOI: 10.1093/imrn/rnw289.Gassner B.J. On braid groups // Abh. Math. Semin. Univ. Hambg.- 1961.- 25.- С. 10-22.-DOI: 10.1007/BF02992772.Givental A.B. Twisted Picard-Lefschetz formulas // Funct. Anal. Appl. - 1988.- 22.-С. 10-18.-DOI: 10.1007/BF01077718.Kapovich M., Millson J. Quantization of bending deformations of polygons in E3, hypergeometric integrals and the Gassner representation // Can. Math. Bull. - 2001.- 44.- С. 36-60.-DOI: 10.4153/ CMB-2001-006-3.Knudsen K.P. On the kernel of the Gassner representation // Arch. Math. -2005.- 85, № 2.-С. 108 - DOI: 10.1007/s00013-005-1271-8.Kohno T. Linear representations of braid groups and classical Yang-Baxter equations // Contemp. Math.- 1988.-78.-С. 339-363.- DOI: 10.1090/conm/078/975088.Leksin V.P. Monodromy of Cherednik-Kohno-Veselov connections // В сб.: «Differential equations and quantum groups. Andrey A. Bolibrukh memorial volume».- Zu¨rich: EMS Publishing Hause, 2007.- С. 255-267.-DOI: 10.4171/020-1/11.Moran S. Mathematical theory of knots and braids. An introduction.- Amsterdam-New York-Oxford: North-Holland, 1983.Squier C.C. Matrix representations of Artin groups // Proc. Am. Math. Soc.- 1988.- 103.-С. 49-53.- DOI: 10.1090/S0002-9939-1988-0938643-3.Varchenko A.N. Special functions, KZ type equations, and representations theory // CBMS Reg. Conf. Ser. Math. -2003.- 98.- AMS0NSF. -DOI: 10.1090/cbms/098.