Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)5153410.22363/2413-3639-2026-72-1-75-84TTBTCAArticlesСтатьиResearch ArticleTwo approaches to averaging stochastic perturbations of integrable systemsДва подхода к усреднению стохастических возмущений интегрируемых системhttps://orcid.org/0000-0003-2322-28217003775978AAC-3293-2022KuksinS. B.КуксинС. Б.sergei.kuksin@imj-prg.frUniversit´e Paris Cit´eSorbonne Universit´e, CNRS, IMJ-PRGSteklov Mathematical Institute of the Russian Academy of SciencesМатематический институт им. В.А. Стеклова РАНRUDN UniversityРоссийский университет дружбы народовNational Research University Higher School of EconomicsНациональный исследовательский университет «Высшая школа экономики»14072026721Differential and Functional Differential EquationsДифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения758429072026Copyright ©; 2026, Kuksin S.B.Copyright ©; 2026, Куксин С.Б.2026Kuksin S.B.Куксин С.Б.https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/51534

In this paper, we discuss two approaches to the study of the long-time behaviour and infinite-time behaviour of solutions for integrable hamiltonian systems under small stochastic perturbations. Then we compare these results with the results for deterministic perturbations of integrable systems.

Обсуждаются два подхода к изучению поведения решений интегрируемых гамильтоновых систем в течение длительного времени и в течение бесконечного времени при малых стохастических возмущениях. Эти результаты сравниваются с результатами для детерминированных возмущений интегрируемых систем.

stochastic perturbationsintegrable systemsHamiltonian systemsaveraging principlefast-slow systemsBirkhoff-integrable Wiener processesстохастические возмущенияинтегрируемые системыгамильтоновы системыпринцип усреднениябыстро-медленные системыбиркгофово-интегрируемыеArnold V.I., Kozlov V.V., Neishtadt A.I. Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics.- New York-Berlin-Heidelberg: Springer, 2006.-DOI: 10.1007/978-3-540-48926-9.Cerrai S., Clement Ph. Well-posedness of the martingale problem for some degenerate diffusion processes occurring in dynamics of populations // Bull. Sci. Math. -2004.- 128.-С. 355-389.-DOI: 10.1016/ j.bulsci.2004.03.004.Eliasson L.H. Normal forms for hamiltonian systems with Poisson commuting integrals - elliptic case // Comment. Math. Helv. -1990.-65.- С. 4-35.-DOI: 10.1007/BF02566590.Freidlin M., Wentzell A. Averaging principle for stochastic perturbations of multifrequency systems // Stoch. Dyn. -2003.-3.- С. 393-408.-DOI: 10.1142/S0219493703000747.Guo J., Kuksin S.B., Liu Z. On the averaging theorems for stochastic perturbations of conservative linear systems // ArXiv.- 2025.- 2504.04379 [math.DS]. -DOI: 10.48550/arXiv.2504.04379.Huang G., Kuksin S.B. Averaging and mixing for stochastic perturbations of linear conservative systems // Russ. Math. Surv.- 2023.- 78.-С. 3-52.- DOI: 10.4213/rm10081.Huang G., Kuksin S.B., Piatnitski A. Averaging for stochastic perturbations of integrable systems // J. Dyn. Differ. Equ. -2025.-37.-С. 1053-1105.- DOI: 10.1007/s10884-024-10405-3.Niederman L. Nonlinear stability around an elliptic equilibrium point in an Hamiltonian system // Nonlinearity.-1998.-11.-С. 1465-1479.- DOI: 10.1088/0951-7715/11/6/002.Whitney H. Differentiable even functions, II // Duke Math. J. -1943.- 10.-С. 159-160.-DOI: 10.1215/ S0012-7094-43-01015-4.Watanabe S., Yamada T. On the uniqueness of solutions of stochastic differential equations, II // J. Math. Kyoto Univ. -1971.- 11.- С. 553-563.- DOI: 10.1215/kjm/1250523620.Yamada T., Watanabe S. On the uniqueness of solutions of stochastic differential equations // J. Math. Kyoto Univ. -1971.- 11.- С. 155-167.- DOI: 10.1215/kjm/1250523691.