Asymptotic approximations to stationary solutions are constructed for two classes of diffusion–reaction systems describing the interactions of biological species (competition and predator– prey) in a heterogeneous habitat. The initial models are supplemented with periodicity conditions on a one-dimensional area; the diffusion coefficients are assumed to be small and, generally speaking, multi-scale. Under the assumption that the degenerate system admits a solution in the form of an ideal free distribution (IFD), methods of singular perturbation theory are used to obtain explicit analytical formulas for the leading terms of the asymptotics. It is established that diffusion corrections to the IFD are proportional to the local curvature of the resource profile \( p''(x)/p(x) \) and are determined by both the parameters of interspecies interaction and the ratio of the diffusion coefficients. For a predator–prey system, it is shown that resource heterogeneity significantly influences the predator distribution, while the prey distribution remains close to the IFD even at relatively high diffusion values. A quantitative criterion for the applicability of the asymptotic model is formulated, allowing for an a priori assessment of its accuracy for an arbitrary resource profile. The reliability of the analytical results is confirmed by numerical calculations.
Для двух классов систем диффузии—реакции, описывающих взаимодействие биологических видов (конкуренция и хищник—жертва) в неоднородной среде обитания, построены асимптотические приближения к стационарным решениям. Исходные модели дополнены условиями периодичности на одномерном ареале; коэффициенты диффузии предполагаются малыми и, вообще говоря, разномасштабными. В предположении, что вырожденная система допускает решение в виде идеального свободного распределения (ИСР), методами теории сингулярных возмущений получены явные аналитические формулы для главных членов асимптотики. Установлено, что диффузионные поправки к ИСР пропорциональны локальной кривизне ресурсного профиля \( p''(x)/p(x) \) и определяются как параметрами межвидового взаимодействия, так и отношением коэффициентов диффузии. Для системы хищник—жертва показано, что неоднородность ресурса существенно влияет на распределение хищника, в то время как распределение жертвы остается близким к ИСР даже при относительно больших значениях диффузии. Сформулирован количественный критерий применимости асимптотики, позволяющий априори оценить ее точность для произвольного профиля ресурса. Достоверность аналитических результатов подтверждена численными расчетами.