We discuss some features of a boundary value problem for a system of PDEs that describes the growth of a sandpile in a container under the action of a vertical source. In particular, we characterize the long-term behavior of the profiles, and we provide a sufficient condition on the vertical source that guarantees the convergence to the equilibrium in a finite time. We show by counterexamples that a stable configuration may not be reached in a finite time, in general, even if the source is timeindependent. Finally, we provide a complete characterization of the equilibrium profiles.
В данной работе обсуждаются некоторые особенности краевой задачи для системы уравнений в частных производных, описывающей рост насыпи песка в контейнере под действием вертикального источника. В частности, характеризуется долговременное поведение профилей поверхности и приводится достаточное условие на вертикальный источник, гарантирующее сходимость к равновесию за конечное время. На контрпримерах показано, что устойчивая конфигурация может не достигаться за конечное время, вообще говоря, даже если источник не зависит от времени. Наконец, дается полная характеристика равновесных профилей поверхности.