In this paper, the efficient solution is considered for an initial-boundary value problem for the Gardner equation: a spatially one-dimensional nonlinear evolution equation describing a broad class of dispersive autowave processes. A numerical-analytical method is proposed based on a combination of explicit and implicit time discretization schemes for various terms of the differential operator. A new efficient algorithm is developed to solve a sequence of auxiliary linear problems, relying on analytical representations using an explicit form of the fundamental system of solutions. An example of a numerical solution of the initial-boundary value problem for the Gardner equation is considered, and the result is compared with a known exact solution of the solitary traveling wave type.
Рассматривается вопрос об эффективном решении начально-краевой задачи для уравнения Гарднера - пространственно одномерного нелинейного эволюционного уравнения, описывающего широкий класс дисперсионных автоволновых процессов. В работе предложен численно-аналитический метод, основанный на сочетании явной и неявной схемы дискретизации по времени для различных членов дифференциального оператора. Для решения последовательности вспомогательных линейных задач разработан новый эффективный алгоритм, опирающийся на аналитические представления с использованием явного вида фундаментальной системы решений. Рассмотрен пример численного решения начально-краевой задачи для уравнения Гарднера и проведено сопоставление результата с известным точным решением типа уединенной бегущей волны.